已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左焦点为 $F(-1,0)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 设 $O$ 为坐标原点，过 $F$ 且斜率大于 $0$ 的动直线 $l$ 与 $C$ 交于 $P$，$Q$ 两点，其中 $Q$ 在第三象限，直线 $PO$ 与 $C$ 的另一个交点为 $R$.

(i) 若 $\triangle PQR$ 的面积是 $\triangle PFO$ 的面积的 $3$ 倍，求 $l$ 的方程； (ii) 求 $\tan \angle PQR$ 的最小值．

$\left( i,j,k \right)$ 是 $1$，$2$，$3$ 的一个排列. 对函数 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$，对于任意 $x\in I$，都有 $f_1(x)\le f_i(x)$ 且 $f_1(x)+f_2(x)\le f_i(x)+f_j(x)$，则称 $\left( i,j,k \right)$ 是关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的一个 $I$ 排列. 关于 $f_1(x)$，$f_2(x)$，$f_3(x)$ 的 $I$ 排列总数记为 $n_I$.

(1) 对 $I=\left[ 3,+\infty \right)$，$f_1(x)=x$，$f_2(x)=0$，$f_3(x)=x^2+1$，判断 $\left( 3,1,2 \right)$ 是否为 $I$ 排列； (2) 对 $I=\left( 0,+\infty \right)$，$f_1(x)=x-1$，$f_2(x)=x+m$，$f_3(x)=x^2$ 满足条件的 $n_I=6$，求 $m$ 的取值范围； (3) 对任意 $x\in \left[ 0,+\infty \right)$，都有 $0<F'(x)<1$. 令 $I=\left[ a,+\infty \right)$，$f_1(x)=F'(x)$，$f_2(x)=\frac{1}{2}\left( F'\left( x+a \right)+F'\left( x-a \right) \right)$，$f_3(x)=1-\mathrm{e}^{-x}$. 证明：若 $F'(x)$ 严格减，则存在 $a>0$，使 $n_I\ge 4$；若 $F'(x)$ 严格增，则存在 $a\in \left( 0,1 \right)$，$n_I\neq 2$.