甲、乙两人进行乒乓球练习, 每个球胜者得 $1$ 分, 负者得 $0$ 分。设每个球甲胜的概率为 $p$ ($\frac{1}{2} < p < 1$), 乙胜的概率为 $q$, $p + q = 1$, 且各球的胜负相互独立。对正整数 $k \ge 2$, 记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 $2$ 分的概率, $q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 $2$ 分的概率。

(1) 求 $p_3, p_4$ (用 $p$ 表示);

(2) 若 $\frac{p_4 - p_3}{q_4 - q_3} = 4$, 求 $p$;

(3) 证明: 对任意正整数 $m$, $p_{2m+1} - q_{2m+1} < p_{2m} - q_{2m} < p_{2m+2} - q_{2m+2}$。

设 $m$ 为正整数, 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列, 若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j\ (i<j)$ 后剩余的 $4m$ 项可被平均分为 $m$ 组, 且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列, 则称数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有的 $(i,j)$, $1 \le i < j \le 6$, 使数列 $a_1, a_2, \ldots, a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列;

(2) 当 $m \ge 3$ 时, 证明: 数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列;

(3) 从 $1, 2, \ldots, 4m+2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j\ (i<j)$, 记数列 $a_1, a_2, \ldots, a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$, 证明: $P_m > \frac{1}{8}$.

信号传输: 发送 0 收到 1 概率 $\alpha$, 发送 1 收到 0 概率 $\beta$。单次/三次传输译码方案, 则 （ ）

甲乙投篮, 命中则继续, 不中则换人。甲命中率 $0.6$, 乙 $0.8$, 首投甲乙各 $0.5$ 概率。

(1) 第 2 次投篮是乙的概率;

(2) 第 $i$ 次是甲的概率;

(3) 前 $n$ 次甲投篮次数 $Y$, 求 $E(Y)$。