设 $m$ 为正整数，数列 $a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，若删去两项 $a_i$，$a_j$（$i<j$） 后剩余 $4m$ 项可平均分为 $m$ 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有 $(i,j)$，$1\le i<j\le6$，使 $a_1$，$\dots$，$a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列； (2) 当 $m\ge3$ 时，证明 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列； (3) 从 $1$，$2$，$\dots$，$4m+2$ 中不放回任取 $i<j$，设 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$，证明 $P_m>\frac18$.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i$（$i=0$，$1$，$\cdots$，$8$）表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$），其中 $a=P(X=-1)$，$b=P(X=0)$，$c=P(X=1)$. 假设 $\alpha=0.5$，$\beta=0.8$.

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}$（$i=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$7$）为等比数列； (ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

随机将 $1$，$2$，$\cdots$，$2n$（$n \in \mathbf{N}^{*}$，$n \geqslant 2$）这 $2n$ 个连续正整数分成 $A$，$B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最小数为 $a_{1}$，最大数为 $a_{2}$；$B$ 组最小数为 $b_{1}$，最大数为 $b_{2}$，记 $\xi = a_{2} - a_{1}$，$\eta = b_{2} - b_{1}$.

(1) 当 $n = 3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望； (2) 令 $C$ 表示事件 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等，求事件 $C$ 发生的概率 $P(C)$； (3) 对（2）中的事件 $C$，$\bar{C}$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P(\bar{C})$ 和 $P(C)$ 的大小关系，并说明理由.

将连续正整数 $1$，$2$，$\cdots$，$n$ （$n \in \mathbf{N}^*$） 从小到大排列构成一个数 $123\cdots n$，$F(n)$ 为这个数的位数 （如 $n = 12$ 时，此数为 $123456789101112$，共有 15 个数字，$F(12) = 15$），现从这个数中随机取一个数字，$p(n)$ 为恰好取到 0 的概率.

(1) 求 $p(100)$； (2) 当 $n \leqslant 2014$ 时，求 $F(n)$ 的表达式； (3) 令 $g(n)$ 为这个数中数字 0 的个数，$f(n)$ 为这个数中数字 9 的个数，$h(n) = f(n) - g(n)$，$S = \{n \mid h(n) = 1, n \leqslant 100, n \in \mathbf{N}^*\}$，求当 $n \in S$ 时 $p(n)$ 的最大值.