甲口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球，乙口袋中装有 $3$ 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$，恰有 $2$ 个黑球的概率为 $p_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $q_n$.

(1) 求 $p_1\cdot q_1$ 和 $p_2\cdot q_2$； (2) 求 $2p_n+q_n$ 与 $2p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_n$ 的数学期望 $E(X_n)$（用 $n$ 表示）.