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12数列★★★★★
等比数列 {an}\{a_n\} 满足首项 a1>0a_1>0，公比 q>1q>1，记 In={x−y∣x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]}I_n=\{x-y\mid x,y\in [a_1,a_2]\cup [a_n,a_{n+1}]\}，若对任意正整数 nn，集合 InI_n 都是闭区间，则 qq 的取值范围是______.

2024 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x. 曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a1,f(a1))\left(a_1,f(a_1)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0,a_2)，且 a2>0a_2>0；曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a2,f(a2))\left(a_2,f(a_2)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0,a_3)；以此类推，直至 am≤0a_m\le 0 时停止，得到数列 {an}\{a_n\}.
(1) 证明：当正整数 n≥2n\ge 2 时，an=ln⁡an−1−1a_n=\ln a_{n-1}-1； (2) 当正整数 n≥2n\ge 2 时，试比较 ana_n 与 an−1−2a_{n-1}-2 的大小； (3) 若正整数 k≥3k\ge 3，是否存在 kk 使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 依次成等差数列？若存在，求出 kk 的所有取值；若不存在，试说明理由.

2023 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 为有限数列，满足 ∣a1−a2∣≤∣a1−a3∣≤⋯≤∣a1−am∣|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|，则称 {an}\{a_n\} 满足性质 PP.
(1) 判断数列 33，22，55，11 和 44，33，22，55，11 是否具有性质 PP，请说明理由； (2) 若 a1=1a_1=1，公比为 qq 的等比数列，项数为 1010，具有性质 PP，求 qq 的取值范围； (3) 若 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，…\ldots，mm 的一个排列（m≥4m\ge4），{bn}\{b_n\} 符合 bk=ak+1b_k=a_{k+1}（k=1k=1，22，…\ldots，m−1m-1），{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 都具有性质 PP，求所有满足条件的数列 {an}\{a_n\}.

2020 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 有 100100 项，a1=aa_1=a，对任意 n∈[2,100]n\in[2,100]，存在 ii 使得 an=ai+da_n=a_i+d，i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，若 aka_k 与其之前中某一项相等，则称 aka_k 具有性质 PP.
(1) 若 a1=1a_1=1，d=2d=2，求 a4a_4 所有可能的值； (2) 若 {an}\{a_n\} 不是等差数列，求证：{an}\{a_n\} 中存在具有性质 PP 的项； (3) 若 {an}\{a_n\} 中恰有三项具有性质 PP，这三项和为 cc，试用 aa，dd，cc 表示 a1+a2+⋯+a100a_1+a_2+\cdots+a_{100}.

2019 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
给定无穷数列 {an}\{a_n\}，若无穷数列 {bn}\{b_n\} 满足：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 ∣bn−an∣≤1\lvert b_n-a_n\rvert\le1，则称 {bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\}“接近”.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是首项为 11，公比为 12\frac12 的等比数列，bn=an+1+1b_n=a_{n+1}+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否与 {an}\{a_n\} 接近，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_n\} 的前四项为：a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a3=4a_3=4，a4=8a_4=8，{bn}\{b_n\} 是一个与 {an}\{a_n\} 接近的数列，记集合 M={x∣x=bi, i=1,2,3,4}M=\{x\mid x=b_i,\ i=1,2,3,4\}，求 MM 中元素的个数 mm； (3) 已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列. 若存在数列 {bn}\{b_n\} 满足：{bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\} 接近，且在 b2−b1b_2-b_1，b3−b2b_3-b_2，…\ldots，b201−b200b_{201}-b_{200} 中至少有 100100 个为正数，求 dd 的取值范围.

2018 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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23数列★★★★★
若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足：只要 ap=aqa_p=a_q（pp，q∈N∗q\in\mathbf{N}^*），必有 ap+1=aq+1a_{p+1}=a_{q+1}，则称 {an}\{a_n\} 具有性质 PP.
(1) 若 {an}\{a_n\} 具有性质 PP，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a4=3a_4=3，a5=2a_5=2，a6+a7+a8=21a_6+a_7+a_8=21，求 a3a_3； (2) 若无穷数列 {bn}\{b_n\} 是等差数列，无穷数列 {cn}\{c_n\} 是公比为正数的等比数列，b1=c5=1b_1=c_5=1，b5=c1=81b_5=c_1=81，an=bn+cna_n=b_n+c_n，判断 {an}\{a_n\} 是否具有性质 PP，并说明理由； (3) 设 {bn}\{b_n\} 是无穷数列，已知 an+1=bn+sin⁡ana_{n+1}=b_n+\sin a_n（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*），求证：“对任意 a1a_1，{an}\{a_n\} 都具有性质 PP”的充要条件为“{bn}\{b_n\} 是常数列”.

2016 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=λ<0a_1 = \lambda < 0，bn=λnb_n = \lambda^n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）. 求 λ\lambda 的取值范围，使得 {an}\{a_n\} 有最大值 MM 与最小值 mm，且 Mm∈(−2,2)\frac{M}{m} \in (-2, 2).

2015 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 与 {bn}\{b_{n}\} 满足 an+1−an=2(bn+1−bn)a_{n + 1} - a_n = 2(b_{n + 1} - b_n)，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 若 bn=3n+5b_{n} = 3n + 5，且 a1=1a_{1} = 1，求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 的第 n0n_0 项是最大项，即 an0⩾ana_{n_0} \geqslant a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），求证： {bn}\{b_n\} 的第 n0n_0 项是最大项； (3) 设 a1=3λ<0a_{1} = 3\lambda < 0，bn=λnb_{n} = \lambda^{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}），求 λ\lambda 的取值范围，使得对任意 mm，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，an≠0a_{n} \neq 0，且 aman∈(16,6)\frac{a_{m}}{a_{n}} \in \left(\frac{1}{6}, 6\right).

2015 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 设 {an}\{a_{n}\} 是公比为 qq 的等比数列，Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}. 若 13Sn⩽Sn+1⩽3Sn\frac{1}{3} S_{n} \leqslant S_{n+1} \leqslant 3S_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，求 qq 的取值范围； (3) 若 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 成等差数列，且 a1+a2+⋯+ak=1000a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{k} = 1000，求正整数 kk 的最大值，以及 kk 取最大值时相应数列 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 的公差.

2014 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 13an⩽an+1⩽3an\frac{1}{3} a_{n} \leqslant a_{n+1} \leqslant 3a_{n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}，a1=1a_{1} = 1.
(1) 若 a2=2a_{2} = 2，a3=xa_{3} = x，a4=9a_{4} = 9，求 xx 的取值范围； (2) 若 {an}\{a_{n}\} 是等比数列，且 am=11000a_{m} = \frac{1}{1000}，求正整数 mm 的最小值，以及 mm 取最小值时相应 {an}\{a_{n}\} 的公比； (3) 若 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 成等差数列，求 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a100a_{100} 的公差的取值范围.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 n=2n=2 时的不等式，得 23⩽x⩽6\dfrac23\leqslant x\leqslant6. 由 n=3n=3 时的不等式，得 x3⩽9⩽3x\dfrac x3\leqslant9\leqslant3x，即 3⩽x⩽273\leqslant x\leqslant27. 两个范围取交集，得到 x∈[3,6]x\in[3,6]. \item 设公比为 qq. 由 n=1n=1 时的条件，13⩽q⩽3\dfrac13\leqslant q\leqslant3，所以 q>0q>0. 因为 a1=1a_1=1，有 am=qm−1=10−3a_m=q^{m-1}=10^{-3}，故 q=10−3(m−1)q=10^{-\frac{3}{(m-1)}}. 条件 q⩾13q\geqslant\dfrac13 等价于 103(m−1)⩽310^{\frac{3}{(m-1)}}\leqslant3. 当 m=7m=7 时，q=10−12<13q=10^{-\frac{1}{2}}<\dfrac13，不满足条件；当 m=8m=8 时，q=10−37>13q=10^{-\frac{3}{7}}>\dfrac13，且 q<1<3q<1<3，满足上界条件. 因为 10−3(m−1)10^{-\frac{3}{(m-1)}} 随正整数 mm 增大而增大，故 m=7m=7 不可而 m=8m=8 可行，最小值为 88，相应公比为 q=10−37q=10^{-\frac{3}{7}}. \item 设公差为 dd，则 an=1+(n−1)da_n=1+(n-1)d. 对 n=1n=1，22，…\ldots，9999，原条件分别等价于 an+d⩾an3a_n+d\geqslant\dfrac{a_n}{3} 和 an+d⩽3ana_n+d\leqslant3a_n. 代入 ana_n 后，前一个不等式化为 (2n+1)d⩾−2(2n+1)d\geqslant-2，即 d⩾−22n+1d\geqslant-\dfrac{2}{2n+1}；后一个不等式化为 (3−2n)d⩽2(3-2n)d\leqslant2. 当 n=1n=1 时给出 d⩽2d\leqslant2，当 n⩾2n\geqslant2 时给出 d⩾−22n−3d\geqslant-\dfrac{2}{2n-3}. 前一组下界中，2n+12n+1 随 nn 增大而增大，故最强条件来自 n=99n=99，即 d⩾−2199d\geqslant-\dfrac{2}{199}. 对 n⩾2n\geqslant2，有 2n−3<2n+12n-3<2n+1，从而 −22n−3<−22n+1-\dfrac{2}{2n-3}< -\dfrac{2}{2n+1}，所以后一组下界不比前一组的最强下界严格. 综合得公差范围为 d∈[−2199,2]d\in\left[-\dfrac{2}{199},2\right]. 代回上述两组不等式可知该范围内各不等式均成立，所以这是充要范围. \end{enumerate} \end{solution}

2014 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23不等式★★★★★
给定常数 c>0c>0，定义函数 f(x)=2∣x+c+4∣−∣x+c∣f(x)=2|x+c+4|-|x+c|，数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，…\ldots 满足 an+1=f(an)a_{n+1}=f(a_n)，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*.
(1) 若 a1=−c−2a_1=-c-2，求 a2a_2 及 a3a_3； (2) 求证：对任意 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，an+1−an⩾ca_{n+1}-a_n\geqslant c； (3) 是否存在 a1a_1，使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 成等差数列？ 若存在，求出所有这样的 a1a_1，若不存在，说明理由.

2013 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23平面向量★★★★★
对于数集 X={−1,x1,x2,⋯ ,xn}X = \{-1, x_1, x_2, \cdots, x_n\}，其中 0<x1<x2<⋯<xn0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n，n⩾2n \geqslant 2，定义向量集 Y={a∣a=(s,t),s∈X,t∈X}Y = \{\boldsymbol{a} \mid \boldsymbol{a} = (s, t), s \in X, t \in X\}. 若对任意 a1∈Y\boldsymbol{a}_1 \in Y，存在 a2∈Y\boldsymbol{a}_2 \in Y，使得 a1⋅a2=0\boldsymbol{a}_1 \cdot \boldsymbol{a}_2 = 0，则称 XX 具有性质 PP. 例如 {−1,1,2}\{-1, 1, 2\} 具有性质 PP.
(1) 若 x>2x > 2，且 {−1,1,2,x}\{-1, 1, 2, x\} 具有性质 PP，求 xx 的值； (2) 若 XX 具有性质 PP，求证： 1∈X1 \in X，且当 xn>1x_n > 1 时，x1=1x_1 = 1； (3) 若 XX 具有性质 PP，且 x1=1x_{1} = 1，x2=qx_{2} = q （qq 为常数），求有穷数列 x1x_{1}，x2x_{2}，⋯\cdots，xnx_{n} 的通项公式.

2012 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
对于项数为 mm 的有穷数列 {an}\{a_{n}\}，记 bk=max⁡{a1,a2,⋯ ,ak}b_{k} = \max \{a_{1}, a_{2}, \cdots , a_{k}\} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm），即 bkb_{k} 为 a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，aka_{k} 中的最大值，并称数列 {bk}\{b_{k}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列. 如 11，33，22，55，55 的控制数列是 11，33，33，55，55.
(1) 若各项均为正整数的数列 {an}\{a_{n}\} 的控制数列为 22，33，44，55，55，写出所有的 {an}\{a_{n}\}； (2) 设 {bn}\{b_{n}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列，满足 ak+bm−k+1=Ca_{k} + b_{m - k + 1} = C （CC 为常数，k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm）. 求证：bk=akb_{k} = a_{k} （k=1k = 1，22，⋯\cdots，mm）； (3) 设 m=100m = 100，常数 a∈(12,1)a \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)，若 an=an2−(−1)n(n+1)2na_{n} = a n^{2} - (-1)^{\frac{n(n + 1)}{2}} n，{bn}\{b_{n}\} 是 {an}\{a_{n}\} 的控制数列，求 (b1−a1)+(b2−a2)+⋯+(b100−a100)(b_{1} - a_{1}) + (b_{2} - a_{2}) + \cdots + (b_{100} - a_{100}).

2012 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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23数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是公比为 qq 的等比数列.
(1) 若 an=3n+1a_n = 3n + 1，是否存在 mm，k∈N∗k \in \mathbf{N}^*，有 am+am+1=aka_m + a_{m+1} = a_k？请说明理由； (2) 找出所有数列 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\}，使对一切 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，an+1an=bn\frac{a_{n+1}}{a_n} = b_n，并说明理由； (3) 若 a1=5a_1 = 5，d=4d = 4，b1=q=3b_1 = q = 3，试确定所有的 pp，使数列 {an}\{a_n\} 中存在某个连续 pp 项的和是数列 {bn}\{b_n\} 中的一项，请证明.

2009 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知以 a1a_{1} 为首项的数列 {an}\{a_{n}\} 满足：
an+1={an+c,an<3,andan⩾3.a_{n+1} = \begin{cases} a_{n} + c, & a_{n} < 3,\\ \frac{a_{n}}{d} & a_{n} \geqslant 3. \end{cases}
(1) 当 a1=1a_{1} = 1，c=1c = 1，d=3d = 3 时，求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 当 0<a1<10 < a_{1} < 1，c=1c = 1，d=3d = 3 时，试用 a1a_{1} 表示数列 {an}\{a_{n}\} 的前100100项的和 S100S_{100}； (3) 当 0<a1<1m0 < a_{1} < \frac{1}{m} （mm 是正整数），c=1mc = \frac{1}{m}，正整数 d⩾3md \geqslant 3m 时，求证：数列 a2−1ma_{2} - \frac{1}{m}，a3m+2−1ma_{3m+2} - \frac{1}{m}，a6m+2−1ma_{6m+2} - \frac{1}{m}，a9m+2−1ma_{9m+2} - \frac{1}{m} 成等比数列当且仅当 d=3md = 3m.

2008 · 上海 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
如果有穷数列 a1a_1，a2a_2，a3a_3，⋯\cdots，ana_n（nn 为正整数）满足条件 a1=ana_1 = a_n，a2=an−1a_2 = a_{n-1}，⋯\cdots，an=a1a_n = a_1，即 ai=an−i+1a_i = a_{n-i+1}（i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn），我们称其为“对称数列”. 例如，由组合数组成的数列 Cm0\mathrm{C}_m^0，Cm1\mathrm{C}_m^1，⋯\cdots，Cmm\mathrm{C}_m^m 就是“对称数列”.
(1) 设 {bn}\{b_n\} 是项数为 7 的“对称数列”，其中 b1b_1，b2b_2，b3b_3，b4b_4 是等差数列，且 b1=2b_1 = 2，b4=11b_4 = 11. 依次写出 {bn}\{b_n\} 的每一项； (2) 设 {cn}\{c_n\} 是项数为 2k−12k - 1（正整数 k>1k > 1）的“对称数列”，其中 ckc_k，ck+1c_{k+1}，⋯\cdots，c2k−1c_{2k-1} 是首项为 50，公差为 −4-4 的等差数列. 记 {cn}\{c_n\} 各项的和为 S2k−1S_{2k-1}. 当 kk 为何值时，S2k−1S_{2k-1} 取得最大值？并求出 S2k−1S_{2k-1} 的最大值； (3) 对于确定的正整数 m>1m > 1，写出所有项数不超过 2m2m 的“对称数列”，使得 11，22，222^2，⋯\cdots，2m−12^{m-1} 依次是该数列中连续的项；当 m>1500m > 1500 时，求其中一个“对称数列”前 2008 项的和 S2008S_{2008}.

2007 · 上海 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设 P1(x1,y1)P_{1}(x_{1},y_{1})，P2(x2,y2)P_{2}(x_{2},y_{2})，⋯\cdots，Pn(xn,yn)P_{n}(x_{n},y_{n})（n⩾3n \geqslant 3，n∈Nn \in \mathbf{N}）是二次曲线 CC 上的点，且 a1=∣OP1∣2a_{1} = |OP_{1}|^{2}，a2=∣OP2∣2a_{2} = |OP_{2}|^{2}，⋯\cdots，an=∣OPn∣2a_{n} = |OP_{n}|^{2} 构成了一个公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列，其中 OO 是坐标原点. 记 Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}.
(1) 若 CC 的方程为 x2100+y225=1\frac{x^2}{100} + \frac{y^2}{25} = 1，n=3n = 3. 点 P1(10,0)P_1(10,0) 及 S3=255S_3 = 255，求点 P3P_3 的坐标.（只需写出一个） (2) 若 CC 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）. 点 P1(a,0)P_1(a,0)，对于给定的自然数 nn，当公差 dd 变化时，求 SnS_n 的最小值. (3) 请选定一条除椭圆外的二次曲线 CC 及 CC 上的一点 P1P_1，对于给定的自然数 nn，写出符合条件的点 P1P_1，P2P_2，…\ldots，PnP_n 存在的充要条件，并说明理由.

2004 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★★
设 P1(x1,y1)P_{1}\left(x_{1},y_{1}\right)，P2(x2,y2)P_{2}\left(x_{2},y_{2}\right)，⋯\cdots，Pn(xn,yn)P_{n}\left(x_{n},y_{n}\right)（n⩾3n \geqslant 3，n∈Nn \in \mathbf{N}）是二次曲线 CC 上的点，且 a1=∣OP1∣2a_{1} = |OP_{1}|^{2}，a2=∣OP2∣2a_{2} = |OP_{2}|^{2}，⋯\cdots，an=∣OPn∣2a_{n} = |OP_{n}|^{2} 构成了一个公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列，其中 OO 是坐标原点. 记 Sn=a1+a2+⋯+anS_{n} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n}.
(1) 若 CC 的方程为 x29−y2=1\frac{x^2}{9} - y^2 = 1，n=3n = 3. 点 P1(3,0)P_{1}\left(3,0\right) 及 S3=162S_{3} = 162，求点 P3P_{3} 的坐标；（只需写出一个） (2) 若 CC 的方程为 y2=2pxy^{2} = 2px（p≠0p \neq 0）. 点 P1(0,0)P_{1}\left(0,0\right)，对于给定的自然数 nn，证明： (x1+p)2(x_{1} + p)^{2}，(x2+p)2(x_{2} + p)^{2}，⋯\cdots，(xn+p)2(x_{n} + p)^{2} 成等差数列； (3) 若 CC 的方程为 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）. 点 P1(a,0)P_{1}\left(a,0\right)，对于给定的自然数 nn，当公差 dd 变化时，求 SnS_{n} 的最小值.

2004 · 上海 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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