设 $m$ 为正整数，数列 $a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，若删去两项 $a_i$，$a_j$（$i<j$） 后剩余 $4m$ 项可平均分为 $m$ 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有 $(i,j)$，$1\le i<j\le6$，使 $a_1$，$\dots$，$a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列； (2) 当 $m\ge3$ 时，证明 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列； (3) 从 $1$，$2$，$\dots$，$4m+2$ 中不放回任取 $i<j$，设 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$，证明 $P_m>\frac18$.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i$（$i=0$，$1$，$\cdots$，$8$）表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$），其中 $a=P(X=-1)$，$b=P(X=0)$，$c=P(X=1)$. 假设 $\alpha=0.5$，$\beta=0.8$.

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}$（$i=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$7$）为等比数列； (ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 求 $a_3$ 的值； (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$； (3) 令 $b_1 = a_1$，$b_n = \frac{T_{n - 1}}{n} + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right) a_n$（$n \geqslant 2$），证明：数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n < 2 + 2 \ln n$.

(1) 设 $b > 0$，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = b$，$a_{n} = \frac{nba_{n-1}}{a_{n-1} + 2n - 2}$（$n \geqslant 2$）. 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式. (2) 证明：对于一切正整数 $n$，$a_{n} \leqslant \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}} + 1$.

已知曲线 $C_n: x^2 - 2nx + y^2 = 0$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）. 从点 $P(-1,0)$ 向曲线 $C_n$ 引斜率为 $k_n$（$k_n > 0$）的切线 $l_n$，切点为 $P_n(x_n, y_n)$.

(1) 求数列 $\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 的通项公式； (2) 证明：$x_1 \cdot x_3 \cdot x_5 \cdot \cdots \cdot x_{2n-1} < \sqrt{\frac{1 - x_n}{1 + x_n}} < \sqrt2\sin \frac{x_n}{y_n}$.

已知 $p$，$q$ 是实数，$\alpha$，$\beta$ 为方程 $x^2 - px + q = 0$ 的两个实根，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 = p$，$x_2 = p^2 - q$，$x_n = px_{n-1} - qx_{n-2}$（$n = 3$，$4$，$\cdots$）.

(1) 证明：$\alpha + \beta = p$，$\alpha \beta = q$； (2) 求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式； (3) 若 $p = 1$，$q = \frac{1}{4}$，求 $\{x_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_2 = 2$，$a_n = \frac{1}{3}(a_{n-1} + 2a_{n-2})$（$n = 3$，$4$，$\cdots$）. 数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1 = 1$，$b_n$（$n = 2$，$3$，$\cdots$）是非零整数，且对任意的正整数 $m$ 和自然数 $k$，都有 $-1 \leqslant b_m + b_{m+1} + \cdots + b_{m+k} \leqslant 1$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 若 $c_n = na_nb_n$（$n = 1$，$2$，$\dots$），求数列 $\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$.

已知函数 $f(x) = x^2 + x - 1$，$\alpha$，$\beta$ 是方程 $f(x) = 0$ 的两个根（$\alpha > \beta$），$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导数. 设 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = a_n - \frac{f(a_n)}{f'(a_n)}$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）.

(1) 求 $\alpha$，$\beta$ 的值； (2) 证明：对任意的正整数 $n$，都有 $a_{n} > \alpha$； (3) 记 $b_{n} = \ln \frac{a_{n} - \beta}{a_{n} - \alpha}$（$n = 1$，$2$，$\cdots$）. 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

$A$ 是由定义在 $[2,4]$ 上且满足如下条件的函数 $\varphi(x)$ 组成的集合：

① 对任意的 $x \in [1,2]$，都有 $\varphi(2x) \in (1,2)$； ② 存在常数 $L$（$0 < L < 1$），使得对任意的 $x_1$，$x_2 \in [1,2]$，都有 $|\varphi(2x_1) - \varphi(2x_2)| \leqslant L|x_1 - x_2|$.

(1) 设 $\varphi(x) = \sqrt[3]{1 + x}$，$x \in [2,4]$，证明：$\varphi(x) \in A$； (2) 设 $\varphi(x) \in A$，如果存在 $x_0 \in (1,2)$，使得 $x_0 = \varphi(2x_0)$，那么这样的 $x_0$ 是唯一的； (3) 设 $\varphi(x) \in A$，任取 $x_1 \in (1,2)$，令 $x_n = \varphi(2x_{n-1})$，$n = 2$，$3$，$\cdots$，证明：给定正整数 $k$，对任意的正整数 $p$，成立不等式 $|x_{k+p} - x_k| \leqslant \frac{L^{k-1}}{1 - L} |x_2 - x_1|$.