设 $m$ 为正整数，数列 $a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，若删去两项 $a_i$，$a_j$（$i<j$） 后剩余 $4m$ 项可平均分为 $m$ 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有 $(i,j)$，$1\le i<j\le6$，使 $a_1$，$\dots$，$a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列； (2) 当 $m\ge3$ 时，证明 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列； (3) 从 $1$，$2$，$\dots$，$4m+2$ 中不放回任取 $i<j$，设 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$，证明 $P_m>\frac18$.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i$（$i=0$，$1$，$\cdots$，$8$）表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$），其中 $a=P(X=-1)$，$b=P(X=0)$，$c=P(X=1)$. 假设 $\alpha=0.5$，$\beta=0.8$.

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}$（$i=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$7$）为等比数列； (ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

若函数 $h(x)$ 满足

① $h(0)=1$，$h(1)=0$； ② 对任意 $a \in [0,1]$，有 $h(h(a)) = a$； ③ 在 $(0,1)$ 上单调递减.

则称 $h(x)$ 为补函数. 已知函数 $h(x) = \left(\frac{1 - x^{p}}{1 + \lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}$（$\lambda > -1$，$p > 0$）.

(1) 判断函数 $h(x)$ 是否为补函数，并证明你的结论； (2) 若存在 $m \in [0,1]$，使得 $h(m) = m$，称 $m$ 是函数 $h(x)$ 的中介元. 记 $p = \frac{1}{n}$ （$n \in \mathbf{N}_+$）时 $h(x)$ 的中介元为 $x_n$. 且 $S_n = \sum_{i=1}^{n} x_i$，若对任意的 $n \in \mathbf{N}_+$，都有 $S_n < \frac{1}{2}$，求 $\lambda$ 的取值范围； (3) 当 $\lambda = 0$，$x \in (0,1)$ 时，函数 $y = h(x)$ 的图象总在直线 $y = 1 - x$ 的上方，求 $p$ 的取值范围.

(1) 已知两个等比数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，满足 $a_{1} = a$（$a > 0$），$b_{1} - a_{1} = 1$，$b_{2} - a_{2} = 2$，$b_{3} - a_{3} = 3$，若数列 $\{a_{n}\}$ 唯一，求 $a$ 的值； (2) 是否存在两个等比数列 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$，使得 $b_{1} - a_{1}$，$b_{2} - a_{2}$，$b_{3} - a_{3}$，$b_{4} - a_{4}$ 成公差不为 0 的等差数列？ 若存在，求 $\{a_{n}\}$，$\{b_{n}\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由.

证明以下命题：

(1) 对任一正整数 $a$，都存在正整数 $b$，$c$（$b<c$），使得 $a^{2}$，$b^{2}$，$c^{2}$ 成等差数列； (2) 存在无穷多个互不相似的三角形 $\Delta_{n}$，其边长 $a_{n}$，$b_{n}$，$c_{n}$ 为正整数且 $a_{n}^{2}$，$b_{n}^{2}$，$c_{n}^{2}$ 成等差数列.

正实数数列 $\{a_{n}\}$ 中，$a_{1} = 1$，$a_{2} = 5$，且 $\{a_{n}^{2}\}$ 成等差数列.

(1) 证明：数列 $\{a_{n}\}$ 中有无穷多项为无理数； (2) 当 $n$ 为何值时，$a_{n}$ 为整数，并求出使 $a_{n} < 200$ 的所有整数项的和.

各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$，$a_{1} = a$，$a_{2} = b$，且对满足 $m + n = p + q$ 的正整数 $m$，$n$，$p$，$q$ 都有 $\frac{a_{m} + a_{n}}{(1 + a_{m})(1 + a_{n})} = \frac{a_{p} + a_{q}}{(1 + a_{p})(1 + a_{q})}$.

(1) 当 $a = \frac{1}{2}$，$b = \frac{4}{5}$ 时，求通项 $a_{n}$； (2) 证明：对任意 $a$，存在与 $a$ 有关的常数 $\lambda$，使得对于每个正整数 $n$，都有 $\frac{1}{\lambda} \leqslant a_n \leqslant \lambda$.

设正整数数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_2 = 4$，且对于任何 $n \in \mathbf{N}^*$，有 $2 + \frac{1}{a_{n+1}} < \frac{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_{n+1}}}{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} < 2 + \frac{1}{a_n}$.

(1) 求 $a_1$，$a_3$； (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n$.

已知各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1} = 3$，且 $\frac{2a_{n+1} - a_{n}}{2a_{n} - a_{n+1}} = a_{n}a_{n+1}$，$n \in \mathbf{N}^{*}$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 设 $S_{n} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \cdots + a_{n}^{2}$，$T_{n} = \frac{1}{a_{1}^{2}} + \frac{1}{a_{2}^{2}} + \cdots + \frac{1}{a_{n}^{2}}$，求 $S_{n} + T_{n}$，并确定最小正整数 $n$，使 $S_{n} + T_{n}$ 为整数.