设 $m$ 为正整数，数列 $a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，若删去两项 $a_i$，$a_j$（$i<j$） 后剩余 $4m$ 项可平均分为 $m$ 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有 $(i,j)$，$1\le i<j\le6$，使 $a_1$，$\dots$，$a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列； (2) 当 $m\ge3$ 时，证明 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列； (3) 从 $1$，$2$，$\dots$，$4m+2$ 中不放回任取 $i<j$，设 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$，证明 $P_m>\frac18$.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i$（$i=0$，$1$，$\cdots$，$8$）表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$），其中 $a=P(X=-1)$，$b=P(X=0)$，$c=P(X=1)$. 假设 $\alpha=0.5$，$\beta=0.8$.

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}$（$i=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$7$）为等比数列； (ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，$b_n=n\left(1+\dfrac1n\right)^n a_n$（$n\in\mathbf{N}_+$），$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数.

(1) 求函数 $f(x)=1+x-\mathrm{e}^x$ 的单调区间，并比较 $\left(1+\dfrac1n\right)^n$ 与 $\mathrm{e}$ 的大小； (2) 计算 $\dfrac{b_1}{a_1}$，$\dfrac{b_1b_2}{a_1a_2}$，$\dfrac{b_1b_2b_3}{a_1a_2a_3}$，由此推测计算 $\dfrac{b_1b_2\cdots b_n}{a_1a_2\cdots a_n}$ 的公式，并给出证明； (3) 令 $c_n=(a_1a_2\cdots a_n)^{\frac1n}$，数列 $\{a_n\}$，$\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_n$，$T_n$，证明：$T_n<\mathrm{e} S_n$.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足： $a_1 = \lambda$，$a_{n + 1} = \frac{2}{3} a_n + n - 4$，$b_n = (-1)^n (a_n - 3n + 21)$，其中 $\lambda$ 为实数，$n$ 为正整数.

(1) 对任意实数 $\lambda$，证明数列 $\{a_{n}\}$ 不是等比数列； (2) 试判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并证明你的结论； (3) 设 $0 < a < b$，$S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和. 是否存在实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$，都有 $a < S_{n} < b$？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

已知不等式 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{1}{2}\left[\log_{2} n\right]$，其中 $n$ 为大于 $2$ 的整数，$[\log_{2} n]$ 表示不超过 $\log_{2} n$ 的最大整数. 设数列 $\{a_n\}$ 的各项为正，且满足 $a_1 = b$（$b > 0$），$a_n \leqslant \frac{n a_{n-1}}{n + a_{n-1}}$，$n = 2$，$3$，$4$，$\dots$.

(1) 证明： $a_{n} < \frac{2b}{2 + b[\log_{2} n]}$，$n = 3$，$4$，$5$，$\dots$； (2) 猜测数列 $\{a_{n}\}$ 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； (3) 试确定一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对任意 $b > 0$，都有 $a_{n} < \frac{1}{5}$.

已知 $a > 0$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = a$，$a_{n+1} = a + \frac{1}{a_n}$，$n = 1$，$2$，$\ldots$.

(1) 已知数列 $\{a_n\}$ 极限存在且大于零，求 $A = \displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$（将 $A$ 用 $a$ 表示）； (2) 设 $b_n = a_n - A$，$n = 1$，$2$，$\cdots$，证明： $b_{n+1} = -\frac{b_n}{A(b_n + A)}$. (3) 若 $|b_n| \leqslant \frac{1}{2^n}$ 对 $n = 1$，$2$，$\cdots$ 都成立，求 $a$ 的取值范围.