设 $m$ 为正整数，数列 $a_1$，$a_2$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 为公差不为 $0$ 的等差数列，若删去两项 $a_i$，$a_j$（$i<j$） 后剩余 $4m$ 项可平均分为 $m$ 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 $(i,j)$-可分数列.

(1) 写出所有 $(i,j)$，$1\le i<j\le6$，使 $a_1$，$\dots$，$a_6$ 是 $(i,j)$-可分数列； (2) 当 $m\ge3$ 时，证明 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列； (3) 从 $1$，$2$，$\dots$，$4m+2$ 中不放回任取 $i<j$，设 $a_1$，$\dots$，$a_{4m+2}$ 是 $(i,j)$-可分数列的概率为 $P_m$，证明 $P_m>\frac18$.

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 $4$ 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 $1$ 分，乙药得 $-1$ 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 $1$ 分，甲药得 $-1$ 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 $0$ 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 $\alpha$ 和 $\beta$，一轮试验中甲药的得分记为 $X$.

(1) 求 $X$ 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 $4$ 分，$p_i$（$i=0$，$1$，$\cdots$，$8$）表示“甲药的累计得分为 $i$ 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 $p_0=0$，$p_8=1$，$p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}$（$i=1$，$2$，$\cdots$，$7$），其中 $a=P(X=-1)$，$b=P(X=0)$，$c=P(X=1)$. 假设 $\alpha=0.5$，$\beta=0.8$.

(i) 证明：$\{p_{i+1}-p_i\}$（$i=0$，$1$，$2$，$\cdots$，$7$）为等比数列； (ii) 求 $p_4$，并根据 $p_4$ 的值解释这种试验方案的合理性.

已知函数 $f(x) = \ln (1 + x) - x$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 记 $f(x)$ 在区间 $[0,n]$（$n \in \mathbf{N}^*$）上的最小值为 $b_n$，令 $a_n = \ln(1 + n) - b_n$.

(i) 如果对一切 $n$，不等式 $\sqrt{a_n} < \sqrt{a_{n+2}} - \frac{c}{\sqrt{a_{n+2}}}$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围； (ii) 求证： $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_1a_3}{a_2a_4} + \dots + \frac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}} < \sqrt{2a_n + 1} -1$.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 若数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $4^{b_1 - 1}4^{b_2 - 1}4^{b_3 - 1}\cdots 4^{b_n - 1} = (a_n + 1)^{b_n}$（$n \in \mathbf{N}^*$），证明 $\{b_n\}$ 是等差数列； (3) 证明：$\frac{n}{2} - \frac{1}{3} < \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_n}{a_{n+1}} < \frac{n}{2}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = a$，$a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}$. 我们知道当 $a$ 取不同的值时，得到不同的数列，如当 $a = 1$ 时，得到无穷数列：$1$，$2$，$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{3}$，$\cdots$；当 $a = -\frac{1}{2}$ 时，得到有穷数列：$-\frac{1}{2}$，$-1$，$0$.

(1) 求当 $a$ 为何值时，$a_4 = 0$； (2) 设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1 = -1$，$b_{n+1} = \frac{1}{b_n - 1}$（$n \in \mathbf{N}_+$），求证 $a$ 取数列 $\{b_n\}$ 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列 $\{a_n\}$； (3) 若 $\frac{3}{2} < a_n < 2$（$n \geqslant 4$），求 $a$ 的取值范围.