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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(1+x)f(x) = \ln (1 + x)，g(x)=xf′(x)g(x) = xf'(x)，x⩾0x \geqslant 0，其中 f′(x)f'(x) 是 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 令 g1(x)=g(x)g_{1}(x) = g(x)，gn+1(x)=g(gn(x))g_{n + 1}(x) = g(g_{n}(x))，n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，求 gn(x)g_{n}(x) 的表达式. (2) 若 f(x)⩾αg(x)f(x) \geqslant \alpha g(x) 恒成立，求实数 α\alpha 的取值范围. (3) 设 n∈N+n \in \mathbf{N}_{+}，比较 g(1)+g(2)+⋯+g(n)g(1) + g(2) + \cdots + g(n) 与 n−f(n)n - f(n) 的大小，并加以证明.

2014 · 陕西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x1=12x_{1} = \frac{1}{2}，xn+1=11+xnx_{n + 1} = \frac{1}{1 + x_n}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 猜想数列 {x2n}\{x_{2n}\} 的单调性，并证明你的结论； (2) 证明： ∣xn+1−xn∣⩽16(25)n−1\left|x_{n+1}-x_{n}\right|\leqslant\frac{1}{6}\left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}.

2009 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的首项 a1=35a_1 = \frac{3}{5}，an+1=3an2an+1a_{n+1} = \frac{3a_n}{2a_n + 1}，n=1n = 1，22，⋯\cdots.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 证明：对任意的 x>0x > 0，an⩾11+x−1(1+x)2(23n−x)a_{n} \geqslant \frac{1}{1 + x} - \frac{1}{(1 + x)^{2}} \left( \frac{2}{3^{n}} - x \right)，n=1n = 1，22，⋯\cdots； (3) 证明：a1+a2+⋯+an>n2n+1a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} > \frac{n^{2}}{n + 1}.

2008 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3−x2+x2+14f(x) = x^3 - x^2 + \frac{x}{2} + \frac{1}{4}，且存在 x0∈(0,12)x_0 \in \left(0, \frac{1}{2}\right)，使 f(x0)=x0f(x_0) = x_0.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的单调增函数； (2) 设 x1=0x_{1} = 0，xn+1=f(xn)x_{n + 1} = f(x_{n})，y1=12y_{1} = \frac{1}{2}，yn+1=f(yn)y_{n + 1} = f(y_{n})，其中 n=1n = 1，22，…\dots，证明：xn<xn+1<x0<yn+1<ynx_{n} < x_{n + 1} < x_0 < y_{n + 1} < y_{n}； (3) 证明： yn+1−xn+1yn−xn<12\frac{y_{n+1}-x_{n+1}}{y_{n}-x_{n}}<\frac{1}{2}.

2006 · 陕西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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