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12数列★★★★★
等比数列 {an}\{a_n\} 满足首项 a1>0a_1>0，公比 q>1q>1，记 In={x−y∣x,y∈[a1,a2]∪[an,an+1]}I_n=\{x-y\mid x,y\in [a_1,a_2]\cup [a_n,a_{n+1}]\}，若对任意正整数 nn，集合 InI_n 都是闭区间，则 qq 的取值范围是______.

2024 · 上海 · 第 12 题 · 填空题

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12三角函数★★★★★
已知 θ>0\theta>0，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^*，总存在实数 φ\varphi，使得 cos⁡(nθ+φ)<32\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt3}{2}，则 θ\theta 的最小值是______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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14集合与逻辑基础★★★★★
已知集合 A={x∣x=2n−1, n∈N∗}A=\{x\mid x=2n-1,\ n\in\mathbf{N}^*\}，B={x∣x=2n, n∈N∗}B=\{x\mid x=2^n,\ n\in\mathbf{N}^*\}. 将 A∪BA\cup B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 {an}\{a_n\}. 记 SnS_n 为数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，则使得 Sn>12an+1S_n>12a_{n+1} 成立的 nn 的最小值为______.

2018 · 江苏 · 第 14 题 · 填空题

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16数列★★★★★
记 [x][x] 为不超过实数 xx 的最大整数，例如，[2][2] = 22，[1.5][1.5] = 11，[−0.3][{-0.3}] = −1-1. 设 aa 为正整数，数列 {xn}\{x_n\} 满足 x1=ax_1 = a，xn+1=[xn+[axn]2]x_{n+1} = \left[\dfrac{x_n + \left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），现有下列命题：
① 当 a=5a=5 时，数列 {xn}\{x_n\} 的前3项依次为 55，33，22； ② 对数列 {xn}\{x_n\} 都存在正整数 kk，当 n⩾kn\geqslant k 时总有 xn=xkx_n=x_k； ③ 当 n⩾1n\geqslant1 时，xn>a−1x_n>\sqrt a-1； ④ 对某个正整数 kk，若 xk+1⩾xkx_{k+1}\geqslant x_k，则 xk=[a]x_k=[\sqrt a].
其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）

2012 · 四川 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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