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19数列★★★★★
已知等差数列 {an}\{a_n\} 与等比数列 {bn}\{b_n\} 满足：a1=2a_1=2，b1=1b_1=1，a2=b1+b2a_2=b_1+b_2，a4=b3−b1a_4=b_3-b_1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 En={x∈R∣x≤n, ∃k∈N∗, x=ak 或 x=bk}E_n=\left\{ x\in \mathbf{R}\mid x\le n,\ \exists k\in \mathbf{N}^*,\ x=a_k\text{\ 或\ }x=b_k \right\}，记 cnc_n 为 EnE_n 中的元素个数.
(i) 求 c3nc_{3^n}； (ii) 求 ∑m=13n−1(−1)m⋅am⋅cm\sum_{m=1}^{3^n-1}(-1)^m\cdot a_m\cdot c_m.

2026 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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19数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 是公比大于 0 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_n. 若 a1=1a_1=1，S2=a3−1S_2=a_3-1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 SnS_n； (2) 设 bn=kb_n=k（n=akn=a_k），bn=bn−1+2kb_n=b_{n-1}+2k（ak<n<ak+1a_k<n<a_{k+1}），其中 k∈N∗k\in \mathbb N^*.
(i) 当 k≥2k\ge 2，n=ak+1n=a_{k+1} 时，求证：bn−1≥akbnb_{n-1}\ge a_k b_n； (ii) 求 ∑i=1Snbi\displaystyle \sum_{i=1}^{S_n}b_i.

2024 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的项数均为 mm（m>2m>2），且 ana_n，bn∈{1,2,…,m}b_n\in\{1,2,\dots,m\}，{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 的前 nn 项和分别为 AnA_n，BnB_n，并规定 A0=B0=0A_0=B_0=0. 对于 k∈{0,1,2,…,m}k\in\{0,1,2,\dots,m\}，定义 rk=max⁡{i∣Bi≤Ak, i∈{0,1,2,…,m}}r_k=\max \{ i\mid B_i\le A_k,\ i\in\{0,1,2,\dots,m\}\}，其中，max⁡M\max M 表示数集 MM 中最大的数.
(1) 若 a1=2a_1=2，a2=1a_2=1，a3=3a_3=3，b1=1b_1=1，b2=3b_2=3，b3=3b_3=3，求 r0r_0，r1r_1，r2r_2，r3r_3 的值； (2) 若 a1≥b1a_1\ge b_1，且 2rj≤rj+1+rj−12r_j\le r_{j+1}+r_{j-1}（j=1j=1，22，…\dots，m−1m-1），求 rnr_n； (3) 证明：存在 pp，qq，ss，t∈{0,1,2,…,m}t\in\{0,1,2,\dots,m\}，满足 p>qp>q，s>ts>t，使得 Ap+Bt=Aq+BsA_p+B_t=A_q+B_s.

2023 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x. 曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a1,f(a1))\left(a_1,f(a_1)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a2)(0,a_2)，且 a2>0a_2>0；曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (a2,f(a2))\left(a_2,f(a_2)\right) 处的切线交 yy 轴于点 (0,a3)(0,a_3)；以此类推，直至 am≤0a_m\le 0 时停止，得到数列 {an}\{a_n\}.
(1) 证明：当正整数 n≥2n\ge 2 时，an=ln⁡an−1−1a_n=\ln a_{n-1}-1； (2) 当正整数 n≥2n\ge 2 时，试比较 ana_n 与 an−1−2a_{n-1}-2 的大小； (3) 若正整数 k≥3k\ge 3，是否存在 kk 使得 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，aka_k 依次成等差数列？若存在，求出 kk 的所有取值；若不存在，试说明理由.

2023 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设 pp 为实数. 若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足如下三个性质，则称 {an}\{a_n\} 为 RpR_p 数列：
① a1+p≥0a_1+p\ge0，且 a2+p=0a_2+p=0； ② a4n−1<a4na_{4n-1}<a_{4n}（n=1n=1，22，…\ldots）； ③ am+n∈{am+an+p, am+an+p+1}a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}（m=1m=1，22，…\ldots；n=1n=1，22，…\ldots）.
(1) 如果数列 {an}\{a_n\} 的前四项分别为 22，−2-2，−2-2，−1-1，那么 {an}\{a_n\} 是否可能为 R2R_2 数列？说明理由； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是 R0R_0 数列，求 a5a_5； (3) 设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，是否存在 RpR_p 数列 {an}\{a_n\}，使得 Sn≥S10S_n\ge S_{10} 恒成立？如果存在，求出所有的 pp；如果不存在，说明理由.

2021 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 22 的等差数列，其前 88 项和为 6464. {bn}\{b_n\} 是公比大于 00 的等比数列，b1=4b_1=4，b3−b2=48b_3-b_2=48.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 cn=b2n+1bnc_n=b_{2n}+\dfrac{1}{b_n}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，
(i) 证明 {cn2−c2n}\{c_n^2-c_{2n}\} 是等比数列； (ii) 证明 ∑k=1nakak+1ck2−c2k<22\sum_{k=1}^n \sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2021 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an≥0a_n\ge0，对任意 n≥2n\ge2，ana_n 和 an+1a_{n+1} 中存在一项使其为另一项与 an−1a_{n-1} 的等差中项.
(1) 已知 a1=5a_1=5，a2=3a_2=3，a4=2a_4=2，求 a3a_3 的所有可能取值； (2) 已知 a1=a4=a7=0a_1=a_4=a_7=0，a2a_2，a5a_5，a8a_8 为正数，证明：a2a_2，a5a_5，a8a_8 成等比数列，并求公比 qq； (3) 已知数列中恰有 33 项为 00，即 ar=as=at=0a_r=a_s=a_t=0，2<r<s<t2<r<s<t，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，求 ar+1+as+1+at+1a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1} 的最大值.

2021 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是无穷数列. 给出两个性质：
① 对于 {an}\{a_n\} 中任意两项 aia_i，aja_j（i>ji>j），在 {an}\{a_n\} 中都存在一项 ama_m，使得 ai2aj=am\dfrac{a_i^2}{a_j}=a_m； ② 对于 {an}\{a_n\} 中任意项 ana_n（n≥3n\ge3），在 {an}\{a_n\} 中都存在两项 aka_k，ala_l（k>lk>l），使得 an=ak2ala_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}.
(1) 若 an=na_n=n（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否满足性质（1），说明理由； (2) 若 an=2n−1a_n=2^{n-1}（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否同时满足性质（1）和性质（2），说明理由； (3) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且同时满足性质（1）和性质（2），证明：{an}\{a_n\} 为等比数列.

2020 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 为有限数列，满足 ∣a1−a2∣≤∣a1−a3∣≤⋯≤∣a1−am∣|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|，则称 {an}\{a_n\} 满足性质 PP.
(1) 判断数列 33，22，55，11 和 44，33，22，55，11 是否具有性质 PP，请说明理由； (2) 若 a1=1a_1=1，公比为 qq 的等比数列，项数为 1010，具有性质 PP，求 qq 的取值范围； (3) 若 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，…\ldots，mm 的一个排列（m≥4m\ge4），{bn}\{b_n\} 符合 bk=ak+1b_k=a_{k+1}（k=1k=1，22，…\ldots，m−1m-1），{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 都具有性质 PP，求所有满足条件的数列 {an}\{a_n\}.

2020 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）的首项 a1=1a_1=1，前 nn 项和为 SnS_n. 设 λ\lambda 与 kk 是常数，若对一切正整数 nn，均有 Sn+11k−Sn1k=λan+11kS_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}} 成立，则称此数列为“λ∼k\lambda\sim k”数列.
(1) 若等差数列 {an}\{a_n\} 是“λ∼1\lambda\sim1”数列，求 λ\lambda 的值； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是“33∼2\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2”数列，且 an>0a_n>0，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 对于给定的 λ\lambda，是否存在三个不同的数列 {an}\{a_n\} 为“λ∼3\lambda\sim3”数列，且 an≥0a_n\ge0？若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2020 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}，从中选取第 i1i_1 项，第 i2i_2 项，…，第 imi_m 项（i1<i2<⋯<imi_1<i_2<\cdots<i_m），若 ai1<ai2<⋯<aima_{i_1}<a_{i_2}<\cdots<a_{i_m}，则称新数列 ai1a_{i_1}，ai2a_{i_2}，…\dots，aima_{i_m} 为 {an}\{a_n\} 的长度为 mm 的递增子列. 规定：数列 {an}\{a_n\} 的任意一项都是 {an}\{a_n\} 的长度为 11 的递增子列.
(1) 写出数列 11，88，33，77，55，66，99 的一个长度为 44 的递增子列； (2) 已知数列 {an}\{a_n\} 的长度为 pp 的递增子列的末项的最小值为 am0a_{m_0}，长度为 qq 的递增子列的末项的最小值为 an0a_{n_0}. 若 p<qp<q，求证：am0<an0a_{m_0}<a_{n_0}； (3) 设无穷数列 {an}\{a_n\} 的各项均为正整数，且任意两项均不相等. 若 {an}\{a_n\} 的长度为 ss 的递增子列末项的最小值为 2s−12s-1，且长度为 ss 末项为 2s−12s-1 的递增子列恰有 2 s−12^{\,s-1} 个（s=1s=1，22，…\dots），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2019 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 有 100100 项，a1=aa_1=a，对任意 n∈[2,100]n\in[2,100]，存在 ii 使得 an=ai+da_n=a_i+d，i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，若 aka_k 与其之前中某一项相等，则称 aka_k 具有性质 PP.
(1) 若 a1=1a_1=1，d=2d=2，求 a4a_4 所有可能的值； (2) 若 {an}\{a_n\} 不是等差数列，求证：{an}\{a_n\} 中存在具有性质 PP 的项； (3) 若 {an}\{a_n\} 中恰有三项具有性质 PP，这三项和为 cc，试用 aa，dd，cc 表示 a1+a2+⋯+a100a_1+a_2+\cdots+a_{100}.

2019 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20数列★★★★★
定义首项为 11 且公比为正数的等比数列为“MM－数列”.
(1) 已知等比数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）满足：a2a4=a5a_2a_4=a_5，a3−4a2+4a1=0a_3-4a_2+4a_1=0，求证：数列 {an}\{a_n\} 为“MM－数列”； (2) 已知数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1=1，1Sn=2bn−2bn+1\dfrac1{S_n}=\dfrac2{b_n}-\dfrac2{b_{n+1}}，其中 SnS_n 为数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(i) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (ii) 设 mm 为正整数，若存在“MM－数列”{cn}\{c_n\}，对任意正整数 kk，当 k≤mk\le m 时，都有 ck≤bk≤ck+1c_k\le b_k\le c_{k+1} 成立，求 mm 的最大值.

2019 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−t1)(x−t2)(x−t3)f(x)=(x-t_1)(x-t_2)(x-t_3)，其中 t1t_1，t2t_2，t3∈Rt_3\in\mathbf{R}，且 t1t_1，t2t_2，t3t_3 是公差为 dd 的等差数列.
(1) 若 t2=0t_2=0，d=1d=1，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 d=3d=3，求 f(x)f(x) 的极值； (3) 若曲线 y=f(x)y=f(x) 与直线 y=−(x−t2)−63y=-(x-t_2)-6\sqrt3 有三个互异的公共点，求 dd 的取值范围.

2018 · 天津 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
给定无穷数列 {an}\{a_n\}，若无穷数列 {bn}\{b_n\} 满足：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，都有 ∣bn−an∣≤1\lvert b_n-a_n\rvert\le1，则称 {bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\}“接近”.
(1) 设 {an}\{a_n\} 是首项为 11，公比为 12\frac12 的等比数列，bn=an+1+1b_n=a_{n+1}+1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*. 判断数列 {bn}\{b_n\} 是否与 {an}\{a_n\} 接近，并说明理由； (2) 设数列 {an}\{a_n\} 的前四项为：a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，a3=4a_3=4，a4=8a_4=8，{bn}\{b_n\} 是一个与 {an}\{a_n\} 接近的数列，记集合 M={x∣x=bi, i=1,2,3,4}M=\{x\mid x=b_i,\ i=1,2,3,4\}，求 MM 中元素的个数 mm； (3) 已知 {an}\{a_n\} 是公差为 dd 的等差数列. 若存在数列 {bn}\{b_n\} 满足：{bn}\{b_n\} 与 {an}\{a_n\} 接近，且在 b2−b1b_2-b_1，b3−b2b_3-b_2，…\ldots，b201−b200b_{201}-b_{200} 中至少有 100100 个为正数，求 dd 的取值范围.

2018 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
若 {cn}\{c_n\} 是递增数列，数列 {an}\{a_n\} 满足：对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，存在 m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，使得 am−cnam−cn+1≤0\frac{a_m-c_n}{a_m-c_{n+1}}\le0，则称 {an}\{a_n\} 是 {cn}\{c_n\} 的“分隔数列”.
(1) 设 cn=2nc_n=2n，an=n+1a_n=n+1，证明：数列 {an}\{a_n\} 是 {cn}\{c_n\} 的分隔数列； (2) 设 cn=n−4c_n=n-4，SnS_n 是 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和，dn=c3n−2d_n=c_{3n-2}，判断数列 {Sn}\{S_n\} 是否是数列 {dn}\{d_n\} 的分隔数列，并说明理由； (3) 设 cn=aqn−1c_n=aq^{n-1}，TnT_n 是 {cn}\{c_n\} 的前 nn 项和，若数列 {Tn}\{T_n\} 是 {cn}\{c_n\} 的分隔数列，求实数 aa，qq 的取值范围.

2018 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
设 {an}\{a_n\} 是首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是首项为 b1b_1，公比为 qq 的等比数列.
(1) 设 a1=0a_1=0，b1=1b_1=1，q=2q=2，若 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=1n=1，22，33，44 均成立，求 dd 的取值范围； (2) 若 a1=b1>0a_1=b_1>0，m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，q∈(1,2m]q\in(1,\sqrt[m]{2}]，证明：存在 d∈Rd\in\mathbf{R}，使得 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=2n=2，33，⋯\cdots，m+1m+1 均成立，并求 dd 的取值范围（用 b1b_1，mm，qq 表示）.

2018 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 是两个等差数列，记 cn=max⁡{b1−a1n,b2−a2n,…,bn−ann}c_n=\max\{b_1-a_1n,b_2-a_2n,\dots,b_n-a_nn\}（n=1n=1，22，33，…\dots），其中 max⁡{x1,x2,…,xs}\max\{x_1,x_2,\dots,x_s\} 表示 x1x_1，x2x_2，…\dots，xsx_s 这 ss 个数中最大的数.
(1) 若 an=na_n=n，bn=2n−1b_n=2n-1，求 c1c_1，c2c_2，c3c_3 的值，并证明 {cn}\{c_n\} 是等差数列； (2) 证明：或者对任意正数 MM，存在正整数 mm，当 n≥mn\ge m 时，cnn>M\dfrac{c_n}{n}>M；或者存在正整数 mm，使得 cmc_m，cm+1c_{m+1}，cm+2c_{m+2}，…\dots 是等差数列.

2017 · 北京 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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19数列★★★★★
对于给定的正整数 kk，若数列 {an}\{a_n\} 满足： an−k+an−k+1+⋯+an−1a_{n-k}+a_{n-k+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n-1} +an+1+⋯+an+k−1+an+k+a_{n+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n+k-1}+a_{n+k} =2kan=2ka_n， 对任意正整数 nn（n>kn>k）总成立，则称数列 {an}\{a_n\} 是“P(k)P(k)数列”.
(1) 证明：等差数列 {an}\{a_n\} 是“P(3)P(3)数列”； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 既是“P(2)P(2)数列”，又是“P(3)P(3)数列”，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2017 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_n\} 满足：x1=1x_1=1，xn=xn+1+ln⁡(1+xn+1)x_n=x_{n+1}+\ln(1+x_{n+1})（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*），证明：当 n∈N∗n\in \mathbf{N}^* 时，
(1) 0<xn+1<xn0<x_{n+1}<x_n； (2) 2xn+1−xn≤xnxn+122x_{n+1}-x_n\le \dfrac{x_nx_{n+1}}{2}； (3) 12n−1≤xn≤12n−2\dfrac{1}{2^{n-1}}\le x_n\le \dfrac{1}{2^{n-2}}.

2017 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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