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21数列★★★★★
设 pp 为实数. 若无穷数列 {an}\{a_n\} 满足如下三个性质，则称 {an}\{a_n\} 为 RpR_p 数列：
① a1+p≥0a_1+p\ge0，且 a2+p=0a_2+p=0； ② a4n−1<a4na_{4n-1}<a_{4n}（n=1n=1，22，…\ldots）； ③ am+n∈{am+an+p, am+an+p+1}a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}（m=1m=1，22，…\ldots；n=1n=1，22，…\ldots）.
(1) 如果数列 {an}\{a_n\} 的前四项分别为 22，−2-2，−2-2，−1-1，那么 {an}\{a_n\} 是否可能为 R2R_2 数列？说明理由； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是 R0R_0 数列，求 a5a_5； (3) 设数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，是否存在 RpR_p 数列 {an}\{a_n\}，使得 Sn≥S10S_n\ge S_{10} 恒成立？如果存在，求出所有的 pp；如果不存在，说明理由.

2021 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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19数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是公差为 22 的等差数列，其前 88 项和为 6464. {bn}\{b_n\} 是公比大于 00 的等比数列，b1=4b_1=4，b3−b2=48b_3-b_2=48.
(1) 求 {an}\{a_n\} 和 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 记 cn=b2n+1bnc_n=b_{2n}+\dfrac{1}{b_n}，n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，
(i) 证明 {cn2−c2n}\{c_n^2-c_{2n}\} 是等比数列； (ii) 证明 ∑k=1nakak+1ck2−c2k<22\sum_{k=1}^n \sqrt{\dfrac{a_ka_{k+1}}{c_k^2-c_{2k}}}<2\sqrt2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.

2021 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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12三角函数★★★★★
已知 θ>0\theta>0，对任意 n∈N∗n\in\mathbb N^*，总存在实数 φ\varphi，使得 cos⁡(nθ+φ)<32\cos(n\theta+\varphi)<\dfrac{\sqrt3}{2}，则 θ\theta 的最小值是______.

2021 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 an≥0a_n\ge0，对任意 n≥2n\ge2，ana_n 和 an+1a_{n+1} 中存在一项使其为另一项与 an−1a_{n-1} 的等差中项.
(1) 已知 a1=5a_1=5，a2=3a_2=3，a4=2a_4=2，求 a3a_3 的所有可能取值； (2) 已知 a1=a4=a7=0a_1=a_4=a_7=0，a2a_2，a5a_5，a8a_8 为正数，证明：a2a_2，a5a_5，a8a_8 成等比数列，并求公比 qq； (3) 已知数列中恰有 33 项为 00，即 ar=as=at=0a_r=a_s=a_t=0，2<r<s<t2<r<s<t，且 a1=1a_1=1，a2=2a_2=2，求 ar+1+as+1+at+1a_{r+1}+a_{s+1}+a_{t+1} 的最大值.

2021 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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10数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，an+1=an1+ana_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+\sqrt{a_n}}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）， 记数列前 nn 项和为 SnS_n. 则（ ）
A.
12<S100<3\frac{1}{2}<S_{100}<3
B.
3<S100<43<S_{100}<4
C.
4<S100<924<S_{100}<\frac{9}{2}
D.
92<S100<5\frac{9}{2}<S_{100}<5

2021 · 浙江 · 第 10 题 · 选择题

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