在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=3$，对任意 $n\in\mathbf{N}^*$ 且 $n\ge2$，均存在正整数 $i\in[1,n-1]$，满足 $a_{n+1}=2a_n-a_i$.

(1) 求 $a_4$ 所有可能的值； (2) 命题 $p$：若 $a_1$，$a_2$，$\ldots$，$a_8$ 成等差数列，则 $a_9<30$，证明 $p$ 是真命题，同时写出 $p$ 的逆命题 $q$，并判断命题 $q$ 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 $a_{2m}=3^m$（$m\in\mathbf{N}^*$），求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

若无穷数列 $\{a_n\}$ 满足：只要 $a_p=a_q$（$p$，$q\in\mathbf{N}^*$），必有 $a_{p+1}=a_{q+1}$，则称 $\{a_n\}$ 具有性质 $P$.

(1) 若 $\{a_n\}$ 具有性质 $P$，且 $a_1=1$，$a_2=2$，$a_4=3$，$a_5=2$，$a_6+a_7+a_8=21$，求 $a_3$； (2) 若无穷数列 $\{b_n\}$ 是等差数列，无穷数列 $\{c_n\}$ 是公比为正数的等比数列，$b_1=c_5=1$，$b_5=c_1=81$，$a_n=b_n+c_n$，判断 $\{a_n\}$ 是否具有性质 $P$，并说明理由； (3) 设 $\{b_n\}$ 是无穷数列，已知 $a_{n+1}=b_n+\sin a_n$（$n\in\mathbf{N}^*$），求证：“对任意 $a_1$，$\{a_n\}$ 都具有性质 $P$”的充要条件为“$\{b_n\}$ 是常数列”.