已知集合 $A=\{x\mid x=2n-1,\ n\in\mathbf{N}^*\}$，$B=\{x\mid x=2^n,\ n\in\mathbf{N}^*\}$. 将 $A\cup B$ 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 $\{a_n\}$. 记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则使得 $S_n>12a_{n+1}$ 成立的 $n$ 的最小值为______.

设集合 $P_n = \{1,2,\cdots,n\}$，$n \in \mathbf{N}^*$. 记 $f(n)$ 为同时满足下列条件的集合 $A$ 的个数：

① $A \subseteq P_n$； ② 若 $x \in A$，则 $2x \notin A$； ③ 若 $x \in C_{P_n}A$，则 $2x \notin C_{P_n}A$.

(1) 求 $f(4)$； (2) 求 $f(n)$ 的解析式（用 $n$ 表示）.