空间中有三个定点 $A$，$B$，$C$，且 $AB=BC=CA=1$. 若在空间中任取 $2$ 个不同的点，使它们与 $A$，$B$，$C$ 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法共有______ 种.

如图，$AD$ 与 $BC$ 是四面体 $ABCD$ 中互相垂直的棱，$BC = 2$. 若 $AD = 2c$，且 $AB + BD = AC + CD = 2a$，其中 $a$，$c$ 为常数，则四面体 $ABCD$ 的体积的最大值是______.

正四面体 $ABCD$ 的棱长为 $1$，棱 $AB \parallel$ 平面 $\alpha$，则正四面体上的所有点在平面 $\alpha$ 内的射影构成的图形面积的取值范围是______.

\begin{answer} $\left[\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{2}\right]$ \end{answer}

\begin{solution} 建立直角坐标系，令 $A=(0,0,0)$、$B=(1,0,0)$、$C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)$、$D=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{6},\sqrt{\frac23}\right)$. 由于 $AB\parallel\alpha$，取平面 $\alpha$ 内与 $AB$ 同向的单位向量，并取其垂直方向为 $\left(0,\cos\theta,\sin\theta\right)$. 反向选择第二个方向不改变投影面积，故可设 $-\frac\pi2\leqslant\theta\leqslant\frac\pi2$.

以 $AB$ 和上述第二个方向为投影平面内的坐标轴，四个顶点的正投影可记为 $A'=(0,0)$、$B'=(1,0)$、$C'=\left(\frac12,u\right)$、$D'=\left(\frac12,v\right)$，其中 $u=\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta$，$v=\frac{\sqrt3}{6}\cos\theta+\sqrt{\frac23}\sin\theta$. 正四面体是四个顶点的凸包，所以所求图形是上述四个投影点的凸包. 因为 $u\geqslant0$，当 $v\geqslant0$ 时面积为 $\frac12\max\{u,v\}$，当 $v<0$ 时面积为 $\frac12(u-v)$.

设 $\theta_0=\arctan\frac1{\sqrt2}$，$\theta_1=-\arctan\frac1{2\sqrt2}$. 当 $v\geqslant0$ 时，必有 $\theta\in[\theta_1,\frac\pi2]$. 若 $\theta\in[\theta_1,\theta_0]$，则 $u\geqslant u(\theta_0)=\frac{\sqrt2}{2}$. 若 $\theta\in[\theta_0,\frac\pi2]$，由于 $v>0$ 且 $v''(\theta)=-v(\theta)<0$，函数 $v$ 在该区间上为凹函数，故其最小值出现在端点，而 $v(\theta_0)=\frac{\sqrt2}{2}$，$v\left(\frac\pi2\right)=\sqrt{\frac23}>\frac{\sqrt2}{2}$. 所以此时 $\max\{u,v\}\geqslant\frac{\sqrt2}{2}$. 当 $v<0$ 时，$\theta\in[-\frac\pi2,\theta_1)$，且 记 $w(\theta)=u-v=\frac{\sqrt3}{3}\cos\theta-\sqrt{\frac23}\sin\theta$. 在该区间内 $w>0$，且 $w''(\theta)=-w(\theta)<0$，所以 $w$ 的最小值出现在端点，端点值均为 $\sqrt{\frac23}>\frac{\sqrt2}{2}$. 因而任意情况下投影面积均不小于 $\frac{\sqrt2}{4}$. 当 $\theta=\theta_0$ 时 $u=v=\frac{\sqrt2}{2}$，下界可以取得.

另一方面，$u\leqslant\frac{\sqrt3}{2}<1$，且由柯西不等式 当 $v\geqslant0$ 时面积严格小于 $\frac12$. 当 $v<0$ 时，仍由柯西不等式 故面积不大于 $\frac12$. 取 $(\cos\theta,\sin\theta)=\left(\frac{\sqrt3}{3},-\sqrt{\frac23}\right)$ 时 $v=-\frac12<0$，且 $u-v=1$，上界可以取得. 投影面积关于 $\theta$ 连续，故其取值范围为 \end{solution}