将半径都为 $1$ 的 $4$ 个铅球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高最小值为（ ）

如图，$OA$ 是圆锥底面中心 $O$ 到母线的垂线，$OA$ 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（ ）

\begin{solution} 在过圆锥轴的截面内，设圆锥的高为 $H$，底面半径为 $R$，母线与轴的夹角为 $\theta$. 以底面中心 $O$ 为原点、轴为竖直方向，设顶点为 $V=(0,H)$，母线与底面圆周的交点为 $B=(R,0)$，垂足为 $A=(r,h)$. 由于 $A$ 在母线 $VB$ 上，可设 又因为 $OA\perp VB$，所以 从而 $t=\dfrac{H^2}{R^2+H^2}=\cos^2\theta$. 因此 $\frac{r}{R}=\cos^2\theta$，$\frac{h}{H}=\sin^2\theta$. 旋转 $OA$ 所得曲面将截面三角形分成两部分. 取靠近底面的部分，其体积等于半径为 $R$，$r$、高为 $h$ 的圆台体积减去半径为 $r$、高为 $h$ 的圆锥体积，即 题设说明 $V_1$ 是原圆锥体积的一半，因此 令 $u=\cos^2\theta=\frac{r}{R}$，则 $\frac{h}{H}=1-u$，从而 $2(1-u)(1+u)=1$，即 $u^2=\frac12$. 因为 $0<\theta<\frac{\pi}{2}$，所以 $u=\frac1{\sqrt2}$，故 故选 D. \end{solution}