(1) 如图，对于任一给定的四面体 $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$，找出依次排列的四个相互平行的平面 $\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$，$\alpha_{4}$，使得 $A_{i} \in \alpha_{i}$ （$i = 1$，$2$，$3$，$4$），且其中每相邻两个平面间的距离都相等； (2) 给定依次排列的四个相互平行的平面 $\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$，$\alpha_{4}$，其中每相邻两个平面间的距离都为 1，若一个正四面体 $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ 的四个顶点满足： $A_{i} \in \alpha_{i}$ （$i = 1$，$2$，$3$，$4$），求该正四面体 $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$ 的体积.

如图，已知 $\triangle ABC$ 的两条角平分线 $AD$ 和 $CE$ 相交于 $H$，$\angle B = 60^{\circ}$，$F$ 在 $AC$ 上，且 $AE = AF$.

(1) 证明：$B$，$D$，$H$，$E$ 四点共圆； (2) 证明：$CE$ 平分 $\angle DEF$.

如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 $P$ 和居民区 $O$ 的公路，点 $P$ 所在的山坡面与山脚所在水平面 $\alpha$ 所成的二面角为 $\theta$（$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$），且 $\sin \theta = \frac{2}{5}$，点 $P$ 到平面 $\alpha$ 的距离 $PH = 0.4\mathrm{~km}$. 沿山脚原有一段笔直的公路 $AB$ 可供利用，从点 $O$ 到山脚修路的造价为 $a\text{ 万元}/\mathrm{km}$，原有公路改建费用为 $\frac{a}{2}\text{ 万元}/\mathrm{km}$，当山坡上公路长度为 $l\mathrm{~km}$（$1 \leqslant l \leqslant 2$）时，其造价为 $(l^{2} + 1)a\text{ 万元}$，已知 $OA \perp AB$，$PB \perp AB$，$AB = 1.5\mathrm{~km}$，$OA = \sqrt{3}\mathrm{~km}$.

(1) 在 $AB$ 上求一点 $D$，使沿折线 $PDAO$ 修建公路的总造价最小； (2) 对于上一问得到的点 $D$，在 $DA$ 上求一点 $E$，使沿折线 $PDEO$ 修建公路的总造价最小； (3) 在 $AB$ 上是否存在两个不同的点 $D'$，$E'$，使沿折线 $PD'E'O$ 修建公路的总造价小于上一问得到的最小总造价，证明你的结论.

如图，$P - ABC$ 是底面边长为 $1$ 的正三棱锥，$D$，$E$，$F$ 分别为棱长 $PA$，$PB$，$PC$ 上的点，截面 $DEF \parallel$ 底面 $ABC$，且棱台 $DEF - ABC$ 与棱锥 $P - ABC$ 的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

(1) 证明：$P - ABC$ 为正四面体. (2) 若 $PD = \frac{1}{2} PA$，求二面角 $D - BC - A$ 的大小.（结果用反三角函数值表示） (3) 设棱台 $DEF - ABC$ 的体积为 $V$，是否存在体积为 $V$ 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台 $DEF - ABC$ 有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.

如图，$P-ABC$ 是底面边长为 $1$ 的正三棱锥，$D$，$E$，$F$ 分别为棱长 $PA$，$PB$，$PC$ 上的点，截面 $DEF \parallel$ 底面 $ABC$，且棱台 $DEF-ABC$ 与棱锥 $P-ABC$ 的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）

(1) 证明： $P-ABC$ 为正四面体； (2) 若 $PD = \frac{1}{2}PA$，求二面角 $D-BC-A$ 的大小.（结果用反三角函数值表示） (3) 设棱台 $DEF-ABC$ 的体积为 $V$，是否存在体积为 $V$ 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台 $DEF-ABC$ 有相同的棱长和？ 若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.

(1) 给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2），要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1，图 2 中，并作简要说明； (2) 试比较你剪的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； (3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等. 请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明.

(1) 给出两块相同的正三角形纸片（如图 1，图 2）. 要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图 1，图 2 中，并作简要说明； (2) 试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小； (3) 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 3），要求剪拼成一个直三棱柱，使它的全面积与给出的三角形的面积相等. 请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图 3 中，并作简要说明.