设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\cos x$，$g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 当 $x\in \left[ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \right]$ 时，证明 $f(x)+g(x)\left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)\ge 0$； (3) 设 $x_n$ 为函数 $u(x)=f(x)-1$ 在区间 $\left( 2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \right)$ 内的零点，其中 $n\in \mathbf{N}$，证明 $2n\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_n<\dfrac{\mathrm{e}^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}$.

设函数 $f(x)=x\sin x$（$x\in\mathbf{R}$）.

(1) 证明 $f(x+2k\pi)-f(x)=2k\pi\sin x$，其中 $k$ 为整数； (2) 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的一个极值点，证明 $\left[f(x_0)\right]^2=\dfrac{x_0^4}{1+x_0^2}$； (3) 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 $a_1$，$a_2$，$\ldots$，$a_n$，$\ldots$，证明 $\dfrac\pi2<a_{n+1}-a_n<\pi$（$n=1$，$2$，$\ldots$）.