已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{4}$，若 $\cos 2A + \cos 2B + 2\sin C = 2$，$\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}$，则（ ）

(1) 设函数 $f(x) = 5\cos x - \cos 5x$，求 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{4}\right]$ 的最大值； (2) 给定 $\theta \in (0,\pi)$ 和 $a \in \mathbf{R}$，证明：存在 $y \in [a - \theta, a + \theta]$，使得 $\cos y \le \cos \theta$； (3) 设 $b \in \mathbf{R}$，若存在 $\varphi \in \mathbf{R}$ 使得 $5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b$ 对 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立，求 $b$ 的最小值.

已知函数 $f(x) = \sin(\omega x + \varphi)$（$\omega > 0$，$\ 0 < \varphi < \pi$）的周期为 $\pi$，图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$，将函数 $f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象.

(1) 求函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式； (2) 是否存在 $x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$，使得 $f(x_0)$，$g(x_0)$，$f(x_0)g(x_0)$ 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 $x_0$ 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 $a$ 与正整数 $n$，使得 $F(x) = f(x) + a g(x)$ 在 $(0, n\pi)$ 内恰有 $2013$ 个零点.