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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=excos⁡xf(x)=\mathrm{e}^x\cos x，g(x)g(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 当 x∈[π4,π2]x\in \left[ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \right] 时，证明 f(x)+g(x)(π2−x)≥0f(x)+g(x)\left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)\ge 0； (3) 设 xnx_n 为函数 u(x)=f(x)−1u(x)=f(x)-1 在区间 (2nπ+π4,2nπ+π2)\left( 2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \right) 内的零点，其中 n∈Nn\in \mathbf{N}，证明 2nπ+π2−xn<e−2nπsin⁡x0−cos⁡x02n\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_n<\dfrac{\mathrm{e}^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}.

2019 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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23函数与初等函数★★★★★
对于定义域为 R\mathbf{R} 的函数 g(x)g(x). 若存在正常数 TT，使 cos⁡g(x)\cos g(x) 是以 TT 为周期的函数，则称 g(x)g(x) 为余弦周期函数，且称 TT 为其余周期. 已知 f(x)f(x) 是以 TT 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 R\mathbf{R}. 设 f(x)f(x) 单调递增，f(0)=0f(0) = 0，f(T)=4πf(T) = 4\pi.
(1) 验证 h(x)=x+sin⁡x3h(x) = x + \sin \frac{x}{3} 是以 6π6\pi 为余弦周期的余弦周期函数； (2) 设 a<ba < b，证明对任意 c∈[f(a),f(b)]c \in [f(a), f(b)]，存在 x0∈[a,b]x_0 \in [a, b]，使得 f(x0)=cf(x_0) = c； (3) 证明：“u0u_0 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [0,T][0, T] 上的解”的充要条件是“u0+Tu_0 + T 为方程 cos⁡f(x)=1\cos f(x) = 1 在 [T,2T][T, 2T] 上的解”，并证明对任意 x∈[0,T]x \in [0, T] 都有 f(x+T)=f(x)+f(T)f(x + T) = f(x) + f(T).

2015 · 上海 · 理 · 第 23 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(cos⁡x−x)(π+2x)−83(sin⁡x+1)f(x) = (\cos x - x)(\pi + 2x) - \frac{8}{3} (\sin x + 1)，g(x)=3(x−π)cos⁡x−4(1+sin⁡x)ln⁡(3−2xπ)g(x) = 3(x - \pi)\cos x - 4(1 + \sin x)\ln \left(3 - \frac{2x}{\pi}\right).
(1) 证明：存在唯一 x0∈(0,π2)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，使 f(x0)=0f(x_0) = 0； (2) 证明：存在唯一 x1∈(π2,π)x_{1} \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，使 g(x1)=0g(x_{1}) = 0，且对（1）中的 x0x_{0}，有 x0+x1<πx_{0} + x_{1} < \pi.

2014 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=π(x−cos⁡x)−2sin⁡x−2f(x) = \pi (x - \cos x) - 2\sin x - 2，g(x)=(x−π)1−sin⁡x1+sin⁡x+2xπ−1g(x) = (x - \pi)\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} + \frac{2x}{\pi} - 1.
(1) 证明：存在唯一 x0∈(0,π2)x_0 \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，使 f(x0)=0f(x_0) = 0； (2) 证明：存在唯一 x1∈(π2,π)x_1 \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，使 g(x1)=0g(x_1) = 0，且对上一问中的 x0x_0，有 x0+x1>πx_0 + x_1 > \pi.

2014 · 辽宁 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=(1+x)e−2xf(x) = (1 + x)\mathrm{e}^{-2x}，g(x)=ax+x32+1+2xcos⁡xg(x) = ax + \frac{x^3}{2} + 1 + 2x\cos x，当 x∈[0,1]x \in [0,1] 时，
(1) 求证：1−x⩽f(x)⩽11+x1 - x \leqslant f(x) \leqslant \frac{1}{1 + x}； (2) 若 f(x)⩾g(x)f(x) \geqslant g(x) 恒成立，求实数 aa 的取值范围.

2013 · 辽宁 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20三角函数★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡(ωx+φ)f(x) = \sin(\omega x + \varphi)（ω>0\omega > 0， 0<φ<π\ 0 < \varphi < \pi）的周期为 π\pi，图象的一个对称中心为 (π4,0)\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)，将函数 f(x)f(x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 22 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位长度后得到函数 g(x)g(x) 的图象.
(1) 求函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的解析式； (2) 是否存在 x0∈(π6,π4)x_0 \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)，使得 f(x0)f(x_0)，g(x0)g(x_0)，f(x0)g(x0)f(x_0)g(x_0) 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 x0x_0 的个数；若不存在，说明理由； (3) 求实数 aa 与正整数 nn，使得 F(x)=f(x)+ag(x)F(x) = f(x) + a g(x) 在 (0,nπ)(0, n\pi) 内恰有 20132013 个零点.

2013 · 福建 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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23三角函数★★★★★
定义向量 OM→=(a,b)\overrightarrow{OM}=(a,b) 的“相伴函数”为 f(x)=asin⁡x+bcos⁡xf(x)=a\sin x+b\cos x；函数 f(x)=asin⁡x+bcos⁡xf(x)=a\sin x+b\cos x 的“相伴向量”为 OM→=(a,b)\overrightarrow{OM}=(a,b)（其中 OO 为坐标原点）. 记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 SS.
(1) 设 g(x)=3sin⁡(x+π2)+4sin⁡xg(x)=3\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+4\sin x，求证：g(x)∈Sg(x)\in S； (2) 已知 h(x)=cos⁡(x+α)+2cos⁡xh(x)=\cos(x+\alpha)+2\cos x，且 h(x)∈Sh(x)\in S，求其“相伴向量”的模； (3) 已知 M(a,b)M(a,b)（b≠0b\ne0）为圆 C:(x−2)2+y2=1C:(x-2)^2+y^2=1 上一点，向量 OM→\overrightarrow{OM} 的“相伴函数” f(x)f(x) 在 x=x0x=x_0 处取到最大值. 当点 MM 在圆 CC 上运动时，求 tan⁡2x0\tan 2x_0 的取值范围.

2012 · 上海 · 春季 · 第 23 题 · 解答题

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22不等式★★★★★
若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣>∣y−m∣|x - m| > |y - m|，则称 xx 比 yy 远离 mm.
(1) 若 x2−1x^{2} - 1 比 1 远离 0，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明： a3+b3a^3 + b^3 比 a2b+ab2a^2b + ab^2 远离 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R}D = \left\{ x \mid x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R} \right\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 中远离 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的基本性质 （结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22三角函数★★★★★
如图，已知 △ABC\triangle ABC 的两条角平分线 ADAD 和 CECE 相交于 HH，∠B=60∘\angle B = 60^{\circ}，FF 在 ACAC 上，且 AE=AFAE = AF.
(1) 证明：BB，DD，HH，EE 四点共圆； (2) 证明：CECE 平分 ∠DEF\angle DEF.

2009 · 全国 · 新课程卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设动点 PP 到两定点 F1(−1,0)F_{1}(-1,0) 和 F2(1,0)F_{2}(1,0) 的距离分别为 d1d_{1} 和 d2d_{2}，∠F1PF2=2θ\angle F_{1}PF_{2} = 2\theta，且存在常数 λ\lambda（0<λ<10 < \lambda < 1），使得 d1d2sin⁡2θ=λd_{1}d_{2}\sin^{2}\theta = \lambda.
(1) 证明：动点 PP 的轨迹 CC 为双曲线，并求出 CC 的方程； (2) 如图，过点 F2F_{2} 的直线与双曲线 CC 的右支交于 AA，BB 两点. 问：是否存在 λ\lambda，使 △F1AB\triangle F_{1}AB 是以点 BB 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出 λ\lambda 的值；若不存在，说明理由.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 P(x,y)P(x,y). 因为 0<λ<10<\lambda<1，所以 PP 不会与任一焦点重合，三角形 F1PF2F_1PF_2 的角 ∠F1PF2=2θ\angle F_1PF_2=2\theta 有意义. 又 F1F2=2F_1F_2=2，由余弦定理得
4=d12+d22−2d1d2cos⁡2θ4=d_1^2+d_2^2-2d_1d_2\cos 2\theta
因此
(d1−d2)2=d12+d22−2d1d2=4−2d1d2(1−cos⁡2θ)=4−4d1d2sin⁡2θ=4(1−λ)(d_1-d_2)^2=d_1^2+d_2^2-2d_1d_2=4-2d_1d_2(1-\cos2\theta)=4-4d_1d_2\sin^2\theta=4(1-\lambda)
于是 ∣d1−d2∣=21−λ|d_1-d_2|=2\sqrt{1-\lambda}. 令 a=1−λa=\sqrt{1-\lambda}，则 0<a<1=F1F220<a<1=\frac{F_1F_2}{2}，所以 PP 的轨迹是以 F1F_1，F2F_2 为焦点、实轴长为 2a2a 的双曲线. 由于焦距的一半为 c=1c=1，虚半轴的平方为 b2=c2−a2=1−(1−λ)=λb^2=c^2-a^2=1-(1-\lambda)=\lambda，故轨迹 CC 的方程为
x21−λ−y2λ=1\frac{x^2}{1-\lambda}-\frac{y^2}{\lambda}=1
在右支上 d1−d2=2ad_1-d_2=2a，又因 d12−d22=4xd_1^2-d_2^2=4x，所以 d1+d2=2xad_1+d_2=\frac{2x}{a}，即 d2=xa−ad_2=\frac{x}{a}-a. 在右支上 x⩾a>a2x\geqslant a>a^2，所以右端为正，平方不会引入符号错误. 代入 d22=(x−1)2+y2d_2^2=(x-1)^2+y^2，可得
(xa−a)2=(x−1)2+y2⟺x2a2−y21−a2=1\left(\frac{x}{a}-a\right)^2=(x-1)^2+y^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{1-a^2}=1
这与上式一致. 反过来，若点 PP 在该双曲线上，则 ∣d1−d2∣=2a\lvert d_1-d_2\rvert=2a. 结合余弦定理，得
4−(d1−d2)2=2d1d2(1−cos⁡2θ)=4d1d2sin⁡2θ4-(d_1-d_2)^2=2d_1d_2(1-\cos 2\theta)=4d_1d_2\sin^2\theta
因此 d1d2sin⁡2θ=1−a2=λd_1d_2\sin^2\theta=1-a^2=\lambda，所以该双曲线上的点均满足题设条件，方程确实给出了完整轨迹.
\item 设 h=BF1h=BF_1，r=BF2r=BF_2，s=AF2s=AF_2. 直线 ABAB 过焦点 F2F_2，并与双曲线的右支交于 AA，BB 两点，所以 F2F_2 在 ABAB 之间. 由双曲线定义，h−r=2ah-r=2a，AF1−s=2aAF_1-s=2a. 若 △F1AB\triangle F_1AB 是以 BB 为直角顶点的等腰直角三角形，则 AB=BF1=hAB=BF_1=h，且 h=s+rh=s+r. 结合 h−r=2ah-r=2a，得 s=2as=2a. 又因为 AF1=2hAF_1=\sqrt{2}h，所以 2h−s=2a⟺2h−2a=2a\sqrt{2}h-s=2a\Longleftrightarrow\sqrt{2}h-2a=2a. 从而 h=22ah=2\sqrt{2}a，r=h−2a=2a(2−1)r=h-2a=2a(\sqrt{2}-1).
由于 ∠F1BF2=90∘\angle F_1BF_2=90^{\circ}，三角形 F1BF2F_1BF_2 的斜边为 F1F2=2F_1F_2=2，所以 h2+r2=4h^2+r^2=4，即 4a2(5−22)=44a^2(5-2\sqrt{2})=4. 因此 a2=15−22a^2=\frac{1}{5-2\sqrt{2}}，从而
λ=1−a2=4−225−22=12−2217\lambda=1-a^2=\frac{4-2\sqrt{2}}{5-2\sqrt{2}}=\frac{12-2\sqrt{2}}{17}
该值确实可实现. 对此 λ\lambda，取 B(1−λ2,λ)B\left(\sqrt{1-\lambda^2},\lambda\right). 因为 xB2+yB2=1x_B^2+y_B^2=1，且 xB21−λ−yB2λ=1−λ21−λ−λ=1\frac{x_B^2}{1-\lambda}-\frac{y_B^2}{\lambda}=\frac{1-\lambda^2}{1-\lambda}-\lambda=1，所以 BB 在双曲线 CC 的右支上，并且 BF1⊥BF2BF_1\perp BF_2. 对上面求得的 aa，由前面的结果有 h=22ah=2\sqrt{2}a，r=2a(2−1)r=2a(\sqrt{2}-1). 在 F2BF_2B 的反向延长线上取点 AA，使 AF2=2aAF_2=2a. 则 AB=AF2+BF2=2a+r=h=BF1AB=AF_2+BF_2=2a+r=h=BF_1，且 AB⊥BF1AB\perp BF_1. 又 AF1=2h=4aAF_1=\sqrt{2}h=4a，所以 AF1−AF2=2aAF_1-AF_2=2a，故 AA 也在双曲线 CC 的右支上. 因此存在这样的 λ\lambda，其值为 12−2217\frac{12-2\sqrt{2}}{17}. \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 江西 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=xsin⁡xf(x)=x\sin x（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 证明 f(x+2kπ)−f(x)=2kπsin⁡xf(x+2k\pi)-f(x)=2k\pi\sin x，其中 kk 为整数； (2) 设 x0x_0 为 f(x)f(x) 的一个极值点，证明 [f(x0)]2=x041+x02\left[f(x_0)\right]^2=\dfrac{x_0^4}{1+x_0^2}； (3) 设 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 内的全部极值点按从小到大的顺序排列 a1a_1，a2a_2，…\ldots，ana_n，…\ldots，证明 π2<an+1−an<π\dfrac\pi2<a_{n+1}-a_n<\pi（n=1n=1，22，…\ldots）.

2005 · 天津 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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26解析几何★★★★★
如图，PP 为椭圆 x2a2+y2=1\frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1 上的一个动点，它与长轴端点不重合，a⩾2a \geqslant \sqrt{2}，点 F1F_1 和点 F2F_2 分别是双曲线 x2a2−y2=1\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 的左焦点和右焦点，φ=∠F1PF2\varphi = \angle F_1PF_2.
(1) 求 tan⁡φ\tan\varphi 的表达式（用 aa 及描述点 PP 位置的一个变量来表示）. (2) 当 aa 固定时，求 φ\varphi 的最小值 φ0\varphi_0. (3) 当 aa 在区间 [2,3][\sqrt{2}, \sqrt{3}] 上变化时，求 φ0\varphi_0 的取值范围.

1993 · 上海 · 第 26 题 · 解答题

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