在平面内，定点 $A$，$B$，$C$，$D$ 满足 $\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$，且 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA}=-2$，动点 $P$，$M$ 满足 $\left|\overrightarrow{AP}\right|=1$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，则 $\left|\overrightarrow{BM}\right|^2$ 的最大值是（ ）

\begin{solution} 令 $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{DA}$，$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{DB}$，$\boldsymbol{w}=\overrightarrow{DC}$，并设 $|\boldsymbol{u}|^2=|\boldsymbol{v}|^2=|\boldsymbol{w}|^2=r^2$.三个向量共面，故其 Gram 行列式为零： 因 $r^2>0$，故 $r^2=4$.又 所以 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\bs0$.

设 $\boldsymbol{z}=\overrightarrow{AP}$，则 $|\boldsymbol{z}|=1$，且由于 $M$ 是 $PC$ 的中点， 于是 由 $\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\geq-|\boldsymbol{z}||\boldsymbol{v}|=-2$，得 当 $\boldsymbol{z}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 反向时取等号，所以最大值为 $\dfrac{49}{4}$，选 B. \end{solution}

已知定点 $A(-1,0)$，$F(2,0)$. 定直线 $l: x = \frac{1}{2}$，不在 $x$ 轴上的动点 $P$ 与点 $F$ 的距离是它到直线 $l$ 的距离的 2 倍. 设点 $P$ 的轨迹为 $E$；过点 $F$ 的直线交 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，直线 $AB$，$AC$ 分别交 $l$ 于点 $M$，$N$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 试判断以线段 $MN$ 为直径的圆是否过点 $F$，并说明理由.