设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|AB| = \sqrt{10}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$.

(i) 设 $P(m, n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m$，$n$ 表示）； (ii) 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的3倍，求 $|PQ|$ 的最大值.

已知平面向量 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{b}|=2$，若对任意单位向量 $\boldsymbol{e}$，均有 $|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{e}|\le \sqrt6$，则 $\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}$ 的最大值是______.