设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|AB| = \sqrt{10}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$.

(i) 设 $P(m, n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m$，$n$ 表示）； (ii) 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的3倍，求 $|PQ|$ 的最大值.

平面内与两定点 $A_{1}(-a,0)$，$A_{2}(a,0)$（$a>0$）连线的斜率之积等于非零常数 $m$ 的点的轨迹，加上 $A_{1}$，$A_{2}$ 两点所成的曲线 $C$ 可以是圆、椭圆或双曲线.

(1) 求曲线 $C$ 的方程，并讨论 $C$ 的形状与 $m$ 值的关系； (2) 当 $m=-1$ 时，对应的曲线为 $C_1$；对给定的 $m\in(-1,0)\cup(0,+\infty)$，对应的曲线为 $C_2$. 设 $F_1$，$F_2$ 是 $C_2$ 的两个焦点. 试问：在 $C_1$ 上，是否存在点 $N$，使得 $\triangle F_1NF_2$ 的面积 $S=|m|a^2$？若存在，求 $\tan\angle F_1NF_2$ 的值；若不存在，请说明理由.