设椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的离心率为 $\frac{2\sqrt{2}}{3}$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|AB| = \sqrt{10}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程； (2) 已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP| \cdot |AR| = 3$.

(i) 设 $P(m, n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m$，$n$ 表示）； (ii) 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的3倍，求 $|PQ|$ 的最大值.

已知抛物线 $C_1: x^2 = 4y$ 的焦点 $F$ 也是椭圆 $C_2: \frac{y^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的一个焦点，$C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦长为 $2\sqrt{6}$.

(1) 求 $C_{2}$ 的方程； (2) 过点 $F$ 的直线 $l$ 与 $C_1$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与 $C_2$ 相交于 $C$，$D$ 两点，且 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{BD}$ 同向.

① 若 $|AC| = |BD|$，求直线 $l$ 的斜率； ② 设 $C_1$ 在点 $A$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $M$，证明： 直线 $l$ 绕点 $F$ 旋转时，$\triangle MFD$ 总是钝角三角形.