已知双曲线 $C:x^2-y^2=m$（$m>0$），点 $P_1(5,4)$ 在 $C$ 上，$k$ 为常数，$0<k<1$. 按照如下方式依次构造点 $P_n$（$n=2$，$3$，$\dots$）：过 $P_{n-1}$ 作斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 的左支交于点 $Q_{n-1}$，令 $P_n$ 为 $Q_{n-1}$ 关于 $y$ 轴的对称点，记 $P_n$ 的坐标为 $(x_n,y_n)$.

(1) 若 $k=\frac12$，求 $x_2$，$y_2$； (2) 证明：数列 $\{x_n-y_n\}$ 是公比为 $\frac{1+k}{1-k}$ 的等比数列； (3) 设 $S_n$ 为 $\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数 $n$，$S_n=S_{n+1}$.