已知空间向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$ 都是单位向量，且 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角为 $60^\circ$. 若 $P$ 为空间任意一点，且 $\left|\overrightarrow{OP}\right|=1$，满足 $\left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OB}\right|\le \left|\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OA}\right|$，则 $\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OC}$ 的最大值为______ .

已知实数 $x_1$，$x_2$，$y_1$，$y_2$ 满足：$x_1^2+y_1^2=1$，$x_2^2+y_2^2=1$，$x_1x_2+y_1y_2=\frac12$，则 $\frac{\lvert x_1+y_1-1\rvert}{\sqrt2}+\frac{\lvert x_2+y_2-1\rvert}{\sqrt2}$ 的最大值为______.

已知平面向量 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}|=1$，$|\boldsymbol{b}|=2$，若对任意单位向量 $\boldsymbol{e}$，均有 $|\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{e}|+|\boldsymbol{b}\cdot \boldsymbol{e}|\le \sqrt6$，则 $\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}$ 的最大值是______.

已知两个不相等的非零向量 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，两组向量 $\boldsymbol{x}_{1}$，$\boldsymbol{x}_{2}$，$\boldsymbol{x}_{3}$，$\boldsymbol{x}_{4}$，$\boldsymbol{x}_{5}$ 和 $\boldsymbol{y}_{1}$，$\boldsymbol{y}_{2}$，$\boldsymbol{y}_{3}$，$\boldsymbol{y}_{4}$，$\boldsymbol{y}_{5}$ 均由 2 个 $\boldsymbol{a}$ 和 3 个 $\boldsymbol{b}$ 排列而成，记 $S = \boldsymbol{x}_{1} \cdot \boldsymbol{y}_{1} + \boldsymbol{x}_{2} \cdot \boldsymbol{y}_{2} + \boldsymbol{x}_{3} \cdot \boldsymbol{y}_{3} + \boldsymbol{x}_{4} \cdot \boldsymbol{y}_{4} + \boldsymbol{x}_{5} \cdot \boldsymbol{y}_{5}$. $S_{\min}$ 表示 $S$ 所有可能取值中的最小值. 则下列命题正确的是______. （写出所有正确命题的编号）

① $S$ 有 5 个不同的值； ② 若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$，则 $S_{\min}$ 与 $|\boldsymbol{a}|$ 无关； ③ 若 $\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}$，则 $S_{\min}$ 与 $|\boldsymbol{b}|$ 无关； ④ 若 $|\boldsymbol{b}| > 4|\boldsymbol{a}|$，则 $S_{\min} > 0$； ⑤ 若 $|\boldsymbol{b}| = 2|\boldsymbol{a}|$，$S_{\min} = 8|\boldsymbol{a}|^2$，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$.

\begin{solution} 把每个向量的五个分量看作五个位置. 设 $M$ 是所有五对 $(\boldsymbol{x}_i,\boldsymbol{y}_i)$ 中两个对应分量同时为 $\boldsymbol{a}$ 的位置总数. 因为五个 $\boldsymbol{x}_i$ 中共有 $10$ 个 $\boldsymbol{a}$ 分量，所以在 $\boldsymbol{x}_i$ 中为 $\boldsymbol{a}$、而在 $\boldsymbol{y}_i$ 中为 $\boldsymbol{b}$ 的位置共有 $10-M$ 个；同理，在 $\boldsymbol{x}_i$ 中为 $\boldsymbol{b}$、而在 $\boldsymbol{y}_i$ 中为 $\boldsymbol{a}$ 的位置也有 $10-M$ 个. 再由五对向量共有 $25$ 个对应位置，两个分量均为 $\boldsymbol{b}$ 的位置数为 $5+M$.

因此 $S=M\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}+2(10-M)\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+(5+M)\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}+20\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+M\lvert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rvert^{2}$. 因 $\boldsymbol{a}\neq\boldsymbol{b}$，有 $\lvert\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rvert^{2}>0$. 每一对向量中两个 $\boldsymbol{a}$ 的位置交集可有 $0$，$1$，$2$ 个；五对向量的排列彼此独立，因此取若干对使交集分别为 $2$，至多再取一对使交集为 $1$，其余取 $0$，即可使总数 $M$ 取得 $0$ 到 $10$ 的每一个整数. 因而 $S$ 实际有 $11$ 个不同的值，命题 $\circled{1}$ 错误，且 $S_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}+20\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$.

若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则 $S_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}$，与 $\lvert\boldsymbol{a}\rvert$ 无关，命题 $\circled{2}$ 正确. 若 $\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$，则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\pm\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert$，所得 $S_{\min}=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}\pm20\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert$ 仍与 $\lvert\boldsymbol{b}\rvert$ 有关，命题 $\circled{3}$ 错误. 若 $\lvert\boldsymbol{b}\rvert>4\lvert\boldsymbol{a}\rvert$，由柯西不等式得 $S_{\min}\geqslant5\lvert\boldsymbol{b}\rvert^{2}-20\lvert\boldsymbol{a}\rvert\lvert\boldsymbol{b}\rvert=5\lvert\boldsymbol{b}\rvert(\lvert\boldsymbol{b}\rvert-4\lvert\boldsymbol{a}\rvert)>0$，命题 $\circled{4}$ 正确. 若 $\lvert\boldsymbol{b}\rvert=2\lvert\boldsymbol{a}\rvert$ 且 $S_{\min}=8\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}$，则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-\dfrac35\lvert\boldsymbol{a}\rvert^{2}$，从而夹角余弦为 $-\dfrac{3}{10}$，不等于 $\cos\dfrac{\pi}{4}$，命题 $\circled{5}$ 错误. 所以正确命题的编号为 $\circled{2}$$\circled{4}$，故填 $\circled{2}\circled{4}$. \end{solution}