在平面内，定点 $A$，$B$，$C$，$D$ 满足 $\left|\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\left|\overrightarrow{DC}\right|$，且 $\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{DA}=-2$，动点 $P$，$M$ 满足 $\left|\overrightarrow{AP}\right|=1$，$\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{MC}$，则 $\left|\overrightarrow{BM}\right|^2$ 的最大值是（ ）

\begin{solution} 令 $\boldsymbol{u}=\overrightarrow{DA}$，$\boldsymbol{v}=\overrightarrow{DB}$，$\boldsymbol{w}=\overrightarrow{DC}$，并设 $|\boldsymbol{u}|^2=|\boldsymbol{v}|^2=|\boldsymbol{w}|^2=r^2$.三个向量共面，故其 Gram 行列式为零： 因 $r^2>0$，故 $r^2=4$.又 所以 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}+\boldsymbol{w}=\bs0$.

设 $\boldsymbol{z}=\overrightarrow{AP}$，则 $|\boldsymbol{z}|=1$，且由于 $M$ 是 $PC$ 的中点， 于是 由 $\boldsymbol{z}\cdot\boldsymbol{v}\geq-|\boldsymbol{z}||\boldsymbol{v}|=-2$，得 当 $\boldsymbol{z}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 反向时取等号，所以最大值为 $\dfrac{49}{4}$，选 B. \end{solution}

在边长为 $1$ 的正六边形 $ABCDEF$ 中，记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\boldsymbol{a}_1$，$\boldsymbol{a}_2$，$\boldsymbol{a}_3$，$\boldsymbol{a}_4$，$\boldsymbol{a}_5$；以 $D$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 $\boldsymbol{d}_1$，$\boldsymbol{d}_2$，$\boldsymbol{d}_3$，$\boldsymbol{d}_4$，$\boldsymbol{d}_5$. 若 $m$，$M$ 分别为 $(\boldsymbol{a}_i+\boldsymbol{a}_j+\boldsymbol{a}_k)\cdot(\boldsymbol{d}_r+\boldsymbol{d}_s+\boldsymbol{d}_t)$ 的最小值，最大值，其中 $\{i,j,k\}\subseteq\{1,2,3,4,5\}$，$\{r,s,t\}\subseteq\{1,2,3,4,5\}$，则 $m$，$M$ 满足（ ）

\begin{answer} D \end{answer}

\begin{solution} 取正六边形外接圆圆心为原点，令 $A=(1,0)$，$\ B=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$，$\ C=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$，$\ D=(-1,0)$ 并按顺序取 $E$，$F$. 则从 $A$ 出发的五个向量的 $x$ 分量为 $-\frac12$，$-\frac32$，$-2$，$-\frac32$，$-\frac12$ 从 $D$ 出发的五个向量的 $x$ 分量为 $2$，$\frac32$，$\frac12$，$\frac12$，$\frac32$. 任取其中三个，前一组向量和的 $x$ 分量不大于 后一组向量和的 $x$ 分量不小于 两组向量的 $y$ 分量分别由两个 $\frac{\sqrt3}{2}$、两个 $-\frac{\sqrt3}{2}$ 和一个 $0$ 中任取三个相加，故各自绝对值不超过 $\sqrt3$. 设两组和分别为 $(X,Y)$、$(U,V)$，则 $XU\leqslant-\frac{25}{4}$，$YV\leqslant|Y||V|\leqslant3$. 所以任意一个题设点积均满足 因此其最大值 $M<0$，最小值自然也满足 $m<0$，故选 D. \end{solution}