设 $p$ 为实数. 若无穷数列 $\{a_n\}$ 满足如下三个性质，则称 $\{a_n\}$ 为 $R_p$ 数列：

① $a_1+p\ge0$，且 $a_2+p=0$； ② $a_{4n-1}<a_{4n}$（$n=1$，$2$，$\ldots$）； ③ $a_{m+n}\in\left\{a_m+a_n+p,\ a_m+a_n+p+1\right\}$（$m=1$，$2$，$\ldots$；$n=1$，$2$，$\ldots$）.

(1) 如果数列 $\{a_n\}$ 的前四项分别为 $2$，$-2$，$-2$，$-1$，那么 $\{a_n\}$ 是否可能为 $R_2$ 数列？说明理由； (2) 若数列 $\{a_n\}$ 是 $R_0$ 数列，求 $a_5$； (3) 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，是否存在 $R_p$ 数列 $\{a_n\}$，使得 $S_n\ge S_{10}$ 恒成立？如果存在，求出所有的 $p$；如果不存在，说明理由.