已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $(-1, +\infty)$, $f(0) = 0$, 导函数 $f'(x) = \frac{\ln(1 + x)}{1 + x}$。设 $l_1$ 是曲线 $y = f(x)$ 在点 $A(a, f(a))$ ($a \ne 0$) 处的切线。

(1) 求 $f'(x)$ 的最大值;

(2) 当 $-1 < a < 0$ 时, 证明: 除切点 $A$ 外, 曲线 $y = f(x)$ 在直线 $l_1$ 的上方;

(3) 设过点 $A$ 的直线 $l_2$ 与直线 $l_1$ 垂直, $l_1, l_2$ 与 $x$ 轴交点的横坐标分别是 $x_1, x_2$。若 $a > 0$, 求 $\frac{2a - x_2 - x_1}{x_2 - x_1}$ 的取值范围。

已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$, $M = \{(x, y) \mid x \in A, y \in A\}$。从 $M$ 中选取 $n$ 个不同的元素组成一个序列: $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$, 其中 $(x_i, y_i)$ 称为该序列的第 $i$ 项 ($i = 1, 2, \cdots, n$), 若该序列的相邻项 $(x_i, y_i), (x_{i+1}, y_{i+1})$ 满足 $\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 3, \\ |y_{i+1} - y_i| = 4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} |x_{i+1} - x_i| = 4, \\ |y_{i+1} - y_i| = 3 \end{cases}$ ($i = 1, 2, \cdots, n-1$), 则称该序列为 $K$ 列。

(1) 对于第 $1$ 项为 $(3, 3)$ 的 $K$ 列, 写出它的第 $2$ 项;

(2) 设 $\Gamma$ 为 $K$ 列, 且 $\Gamma$ 中的项 $(x_i, y_i)$ ($i = 1, 2, \cdots, n$) 满足: 当 $i$ 为奇数时, $x_i \in \{1, 2, 7, 8\}$; 当 $i$ 为偶数时, $x_i \in \{3, 4, 5, 6\}$, 判断 $(3, 2)$, $(4, 4)$ 能否同时为 $\Gamma$ 中的项, 并说明理由;

(3) 证明: 由 $M$ 的全部元素组成的序列都不是 $K$ 列。