记 $[x]$ 为不超过实数 $x$ 的最大整数，例如，$[2]$ = $2$，$[1.5]$ = $1$，$[{-0.3}]$ = $-1$. 设 $a$ 为正整数，数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 = a$，$x_{n+1} = \left[\dfrac{x_n + \left[\dfrac{a}{x_n}\right]}{2}\right]$（$n \in \mathbf{N}^*$），现有下列命题：

① 当 $a=5$ 时，数列 $\{x_n\}$ 的前3项依次为 $5$，$3$，$2$； ② 对数列 $\{x_n\}$ 都存在正整数 $k$，当 $n\geqslant k$ 时总有 $x_n=x_k$； ③ 当 $n\geqslant1$ 时，$x_n>\sqrt a-1$； ④ 对某个正整数 $k$，若 $x_{k+1}\geqslant x_k$，则 $x_k=[\sqrt a]$.

其中的真命题有______（写出所有真命题的编号）