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08
函数与初等函数
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
{
x
2
+
(
4
a
−
3
)
x
+
3
a
,
x
<
0
,
log
a
(
x
+
1
)
+
1
,
x
≥
0
,
f(x)=\begin{cases} x^2+(4a-3)x+3a,&x<0,\\ \log_a(x+1)+1,&x\ge 0, \end{cases}
f
(
x
)
=
{
x
2
+
(
4
a
−
3
)
x
+
3
a
,
lo
g
a
(
x
+
1
)
+
1
,
x
<
0
,
x
≥
0
,
（
a
>
0
a>0
a
>
0
，且
a
≠
1
a\neq1
a
=
1
）在
R
\mathbf{R}
R
上单调递减，且关于
x
x
x
的方程
∣
f
(
x
)
∣
=
2
−
x
\lvert f(x)\rvert=2-x
∣
f
(
x
)∣
=
2
−
x
恰好有两个不相等的实数解，则
a
a
a
的取值范围是（ ）
A.
(
0
,
2
3
]
\left(0,\dfrac23\right]
(
0
,
3
2
]
B.
[
2
3
,
3
4
]
\left[\dfrac23,\dfrac34\right]
[
3
2
,
4
3
]
C.
[
1
3
,
2
3
]
∪
{
3
4
}
\left[\dfrac13,\dfrac23\right]\cup\left\{\dfrac34\right\}
[
3
1
,
3
2
]
∪
{
4
3
}
D.
[
1
3
,
2
3
)
∪
{
3
4
}
\left[\dfrac13,\dfrac23\right)\cup\left\{\dfrac34\right\}
[
3
1
,
3
2
)
∪
{
4
3
}
2016 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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08
函数与初等函数
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
x
(
1
+
a
∣
x
∣
)
f(x) = x(1 + a|x|)
f
(
x
)
=
x
(
1
+
a
∣
x
∣
)
. 设关于
x
x
x
的不等式
f
(
x
+
a
)
<
f
(
x
)
f(x + a) < f(x)
f
(
x
+
a
)
<
f
(
x
)
的解集为
A
A
A
. 若
[
−
1
2
,
1
2
]
⊆
A
\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \subseteq A
[
−
2
1
,
2
1
]
⊆
A
，则实数
a
a
a
的取值范围是（ ）
A.
(
1
−
5
2
,
0
)
\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right)
(
2
1
−
5
,
0
)
B.
(
1
−
3
2
,
0
)
\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0\right)
(
2
1
−
3
,
0
)
C.
(
1
−
5
2
,
0
)
∪
(
0
,
1
+
3
2
)
\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)
(
2
1
−
5
,
0
)
∪
(
0
,
2
1
+
3
)
D.
(
−
∞
,
1
−
5
2
)
\left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)
(
−
∞
,
2
1
−
5
)
2013 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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10
导数及其应用
★★★★★
设函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在
R
\mathbf{R}
R
上的导函数为
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
，且
2
f
(
x
)
+
x
f
′
(
x
)
>
x
2
2f(x) + xf'(x) > x^2
2
f
(
x
)
+
x
f
′
(
x
)
>
x
2
. 下面的不等式在
R
\mathbf{R}
R
内恒成立的是（ ）
A.
f
(
x
)
>
0
f(x) > 0
f
(
x
)
>
0
B.
f
(
x
)
<
0
f(x) < 0
f
(
x
)
<
0
C.
f
(
x
)
>
x
f(x) > x
f
(
x
)
>
x
D.
f
(
x
)
<
x
f(x) < x
f
(
x
)
<
x
2009 · 天津 · 文 · 第 10 题 · 选择题
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