设函数 $f(x)=\mathrm{e}^x\cos x$，$g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 当 $x\in \left[ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2} \right]$ 时，证明 $f(x)+g(x)\left( \dfrac{\pi}{2}-x \right)\ge 0$； (3) 设 $x_n$ 为函数 $u(x)=f(x)-1$ 在区间 $\left( 2n\pi+\dfrac{\pi}{4},2n\pi+\dfrac{\pi}{2} \right)$ 内的零点，其中 $n\in \mathbf{N}$，证明 $2n\pi+\dfrac{\pi}{2}-x_n<\dfrac{\mathrm{e}^{-2n\pi}}{\sin x_0-\cos x_0}$.

设函数 $f(x)=\ln x-a(x-1)\mathrm{e}^x$，其中 $a\in\mathbf{R}$.

(1) 若 $a\le0$，讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 0<a<\dfrac1\mathrm{e}，

(i) 证明 $f(x)$ 恰有两个零点； (ii) 设 $x_0$ 为 $f(x)$ 的极值点，$x_1$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $x_1>x_0$，证明 $3x_0-x_1>2$.