已知函数 $f(x)=\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{2} \right)\ln(x+1)$.

(1) 求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率； (2) 当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$； (3) 证明： $\frac{5}{6}<\ln(n!)-\left( n+\frac{1}{2} \right)\ln n+n\le 1$