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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
(1) 证明：当 0<x<10<x<1 时，x−x2<sin⁡x<xx-x^2<\sin x<x. (2) 已知函数 f(x)=cos⁡ax−ln⁡(1−x2)f(x)=\cos ax-\ln(1-x^2)，若 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的极大值点，求 aa 的取值范围.

2023 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:x2=2pyC:x^2=2py（p>0p>0）的焦点为 FF，且 FF 与圆 M:x2+(y+4)2=1M:x^2+(y+4)^2=1 上点的距离的最小值为 44.
(1) 求 pp； (2) 若点 PP 在 MM 上，PAPA，PBPB 是 CC 的两条切线，AA，BB 是切点，求 △PAB\triangle PAB 面积的最大值.

2021 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x2−ax+bf(x) = x^{2} - ax + b.
(1) 讨论函数 f(sin⁡x)f(\sin x) 在 (−π2,π2)\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) 内的单调性并判断有无极值. 有极值时求出极值； (2) 记 f0(x)=x2−a0x+b0f_{0}(x) = x^{2} - a_{0}x + b_{0}，求函数 ∣f(sin⁡x)−f0(sin⁡x)∣|f(\sin x) - f_{0}(\sin x)| 在 [−π2,π2]\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] 上的最大值 DD； (3) 在上一问中，取 a0=b0=0a_0 = b_0 = 0，求 z=b−a24z = b - \frac{a^2}{4} 满足 D⩽1D \leqslant 1 时的最大值.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 h(x)=f(sin⁡x)=sin⁡2x−asin⁡x+bh(x)=f(\sin x)=\sin^2x-a\sin x+b. 则
h′(x)=(2sin⁡x−a)cos⁡xh'(x)=(2\sin x-a)\cos x
在给定区间内 cos⁡x>0\cos x>0，所以单调性由 2sin⁡x−a2\sin x-a 的符号决定.
当 a⩽−2a\leqslant-2 时，对任意 x∈(−π2,π2)x\in(-\frac\pi2,\frac\pi2)，有 2sin⁡x−a>02\sin x-a>0，故 h(x)h(x) 单调递增且无极值. 当 a⩾2a\geqslant2 时，有 2sin⁡x−a<02\sin x-a<0，故 h(x)h(x) 单调递减且无极值. 当 −2<a<2-2<a<2 时，方程 2sin⁡x−a=02\sin x-a=0 在区间内有唯一解 x0=arcsin⁡a2x_0=\arcsin\frac a2，函数先减后增，在 x0x_0 处取得极小值
h(x0)=(a2)2−a⋅a2+b=b−a24h(x_0)=\left(\frac a2\right)^2-a\cdot\frac a2+b=b-\frac{a^2}{4}
\item 令 t=sin⁡xt=\sin x，则 t∈[−1,1]t\in[-1,1]，并且
f(t)−f0(t)=−(a−a0)t+(b−b0)f(t)-f_0(t)=-(a-a_0)t+(b-b_0)
因此
D=max⁡−1⩽t⩽1∣−(a−a0)t+(b−b0)∣=max⁡{∣b−b0−(a−a0)∣,∣b−b0+(a−a0)∣}D=\max_{-1\leqslant t\leqslant1}|-(a-a_0)t+(b-b_0)| =\max\{|b-b_0-(a-a_0)|,|b-b_0+(a-a_0)|\}
根据 max⁡{∣u−v∣,∣u+v∣}=∣u∣+∣v∣\max\{|u-v|,|u+v|\}=|u|+|v|，得到
D=∣a−a0∣+∣b−b0∣D=|a-a_0|+|b-b_0|
\item 此时 D=∣a∣+∣b∣⩽1D=|a|+|b|\leqslant1. 于是
z=b−a24⩽b⩽∣b∣⩽1−∣a∣⩽1z=b-\frac{a^2}{4}\leqslant b\leqslant|b|\leqslant1-|a|\leqslant1
取 a=0a=0，b=1b=1 时 D=1D=1，且 z=1z=1，所以 zz 的最大值为 11. \end{enumerate} \end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设实数 c>0c > 0，整数 p>1p > 1，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 证明：当 x>−1x > -1 且 x≠0x \neq 0 时，(1+x)p>1+px(1 + x)^p > 1 + px； (2) 数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1>c1pa_1 > c^{\frac{1}{p}}，an+1=p−1pan+cpan1−pa_{n+1} = \frac{p-1}{p}a_n + \frac{c}{p}a_n^{1-p}，证明：an>an+1>c1pa_n > a_{n+1} > c^{\frac{1}{p}}.

2014 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 fn(x)=−1+x+x222+x332+⋯+xnn2f_{n}(x) = -1 + x + \frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{x^{3}}{3^{2}} + \cdots + \frac{x^{n}}{n^{2}} （x∈Rx \in \mathbf{R}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）. 证明：
(1) 对每个 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，存在唯一的 xn∈[23,1]x_n \in \left[\frac{2}{3}, 1\right]，满足 fn(xn)=0f_n(x_n) = 0； (2) 对任意 p∈N∗p \in \mathbf{N}^*，由上一问中 xnx_n 构成的数列 {xn}\{x_n\} 满足 0<xn−xn+p<1n0 < x_n - x_{n+p} < \frac{1}{n}.

2013 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动. 分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 nn 位学生，每次活动均需该系 kk 位学生参加（nn 和 kk 都是固定的正整数）. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给该系 kk 位学生，且所发信息都能收到. 记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 XX.
(1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2) 求使 P(X=m)P(X = m) 取得最大值的整数 mm.

2013 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {xn}\{x_{n}\} 满足 x1=0x_{1} = 0，xn+1=−xn2+xn+cx_{n + 1} = -x_{n}^{2} + x_{n} + c （n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）.
(1) 证明： {xn}\{x_{n}\} 是递减数列的充分必要条件是 c<0c < 0. (2) 求 cc 的取值范围，使 {xn}\{x_{n}\} 是递增数列.

2012 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a0=0a_0 = 0，an+1=can3+1−ca_{n+1} = c a_n^3 + 1 - c，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，其中 cc 为实数.
(1) 证明：an∈[0,1]a_{n} \in [0,1] 对任意 n∈N∗n \in \mathbf{N}^* 成立的充分必要条件是 c∈[0,1]c \in [0,1]； (2) 设 0<c<130 < c < \frac{1}{3}. 证明：an⩾1−(3c)n−1a_{n} \geqslant 1 - (3c)^{n-1}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*； (3) 设 0<c<130 < c < \frac{1}{3}. 证明：a12+a22+⋯+an2>n+1−21−3ca_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 > n + 1 - \frac{2}{1 - 3c}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.

2008 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）过点 M(2,1)M(\sqrt{2}, 1). 且左焦点为 F1(−2,0)F_1(-\sqrt{2}, 0).
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 当过点 P(4,1)P(4,1) 的动直线 ll 与椭圆 CC 相交于两不同点 AA，BB 时，在线段 ABAB 上取点 QQ，满足 ∣AP→∣⋅∣QB→∣=∣AQ→∣⋅∣PB→∣\left|\overrightarrow{AP}\right| \cdot \left|\overrightarrow{QB}\right| = \left|\overrightarrow{AQ}\right| \cdot \left|\overrightarrow{PB}\right|，证明：点 QQ 总在某定直线上.

2008 · 安徽 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
如图，FF 为双曲线 CC：x2a2−y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的右焦点，PP 为双曲线 CC 右支上一点，且位于 xx 轴上方，MM 为左准线上一点，OO 为坐标原点. 已知四边形 OFPMOFPM 为平行四边形，∣PF∣=λ∣OF∣|PF| = \lambda |OF|.
(1) 写出双曲线 CC 的离心率 ee 与 λ\lambda 的关系式； (2) 当 λ=1\lambda = 1 时，经过焦点 FF 且平行于 OPOP 的直线交双曲线于 AA，BB 点，若 ∣AB∣=12|AB| = 12，求此时的双曲线方程.

2006 · 安徽 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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