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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=aex−1−ln⁡x+ln⁡af(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a.
(1) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))\left( 1,f(1) \right) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 f(x)≥1f(x)\ge 1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，且过点 A(2,1)A\left( 2,1 \right).
(1) 求 CC 的方程； (2) 点 MM，NN 在 CC 上，且 AM⊥ANAM\perp AN，AD⊥MNAD\perp MN，DD 为垂足. 证明：存在定点 QQ，使得 ∣DQ∣|DQ| 为定值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 E:x2a2+y2b2=1E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，焦距为 2.
(1) 求椭圆 EE 的方程； (2) 如图，该直线 l:y=k1x−32l:y=k_1x-\dfrac{\sqrt3}{2} 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，CC 是椭圆 EE 上的一点，直线 OCOC 的斜率为 k2k_2，且 k1k2=24k_1k_2=\dfrac{\sqrt2}{4}，MM 是线段 OCOC 延长线上一点，且 ∣MC∣:∣AB∣=2:3\lvert MC\rvert:\lvert AB\rvert=2:3，⊙M\odot M 的半径为 ∣MC∣\lvert MC\rvert，OSOS，OTOT 是 ⊙M\odot M 的两条切线，切点分别为 SS，TT，求 ∠SOT\angle SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 ll 的斜率.

2017 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt2}{2}，椭圆 CC 截直线 y=1y=1 所得线段的长度为 222\sqrt2.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 动直线 l:y=kx+ml:y=kx+m（m≠0m\ne0）交椭圆 CC 于 AA，BB 两点，交 yy 轴于点 MM. 点 NN 是 MM 关于 OO 的对称点，⊙N\odot N 的半径为 ∣NO∣\lvert NO\rvert. 设 DD 为 ABAB 的中点，DEDE，DFDF 与 ⊙N\odot N 分别相切于点 EE，FF，求 ∠EDF\angle EDF 的最小值.

2017 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 f(x)=a(x−ln⁡x)+2x−1x2f(x)=a\left(x-\ln x\right)+\dfrac{2x-1}{x^2}，a∈Ra\in\mathbf{R}.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 a=1a=1 时，证明 f(x)>f′(x)+32f(x)>f'(x)+\dfrac32 对于任意的 x∈[1,2]x\in[1,2] 成立.

2016 · 山东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C ⁣:x2a2+y2b2=1C\colon\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率是 32\dfrac{\sqrt3}{2}，抛物线 E ⁣:x2=2yE\colon x^2=2y 的焦点 FF 是 CC 的一个顶点.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设 PP 是 EE 上的动点，且位于第一象限，EE 在点 PP 处的切线 ll 与 CC 交于不同的两点 AA，BB，线段 ABAB 的中点为 DD，直线 ODOD 与过 PP 且垂直于 xx 轴的直线交于点 MM.
(i) 求证：点 MM 在定直线上； (ii) 直线 ll 与 yy 轴交于点 GG，记 △PFG\triangle PFG 的面积为 S1S_1，△PDM\triangle PDM 的面积为 S2S_2，求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最大值及取得最大值时点 PP 的坐标.

2016 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的长轴长为 44，焦距为 222\sqrt2.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过动点 M(0,m)M(0,m)（m>0m>0）的直线交 xx 轴于点 NN，交 CC 于点 AA，PP（PP 在第一象限），且 MM 是线段 PNPN 的中点. 过点 PP 作 xx 轴的垂线交 CC 于另一点 QQ，延长线 QMQM 交 CC 于点 BB.
(i) 设直线 PMPM，QMQM 的斜率分别为 kk，k′k'，证明 k′k\dfrac{k'}{k} 为定值； (ii) 求直线 ABAB 的斜率的最小值.

2016 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=ln⁡(x+1)+a(x2−x)f(x) = \ln(x + 1) + a(x^2 - x)，其中 a∈Ra \in \mathbf{R}.
(1) 讨论函数 f(x)f(x) 极值点的个数，并说明理由； (2) 若 ∀x>0\forall x > 0，f(x)⩾0f(x) \geqslant 0 成立，求 aa 的取值范围.

2015 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x+a)ln⁡xf(x) = (x + a)\ln x，g(x)=x2exg(x) = \frac{x^2}{\mathrm{e}^x}. 已知曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线与直线 2x−y=02x - y = 0 平行.
(1) 求 aa 的值； (2) 是否存在自然数 kk，使得方程 f(x)=g(x)f(x) = g(x) 在 (k,k+1)(k, k + 1) 内存在唯一的根？ 如果存在，求出 kk；如果不存在，请说明理由； (3) 设函数 m(x)=min⁡{f(x),g(x)}m(x) = \min \{f(x), g(x)\}（min⁡{p,q}\min \{p, q\} 表示 pp，qq 中的较小值），求 m(x)m(x) 的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，且点 (3,12)\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right) 在椭圆 CC 上.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设椭圆 E:x24a2+y24b2=1E: \frac{x^2}{4a^2} + \frac{y^2}{4b^2} = 1，PP 为椭圆 CC 上任意一点，过点 PP 的直线 y=kx+my = kx + m 交椭圆 EE 于 AA，BB 两点，射线 POPO 交椭圆 EE 于点 QQ.
(i) 求 ∣OQ∣∣OP∣\frac{|OQ|}{|OP|} 的值； (ii) 求 △ABQ\triangle ABQ 面积的最大值.

2015 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:y2=2pxC: y^{2} = 2px（p>0p > 0）的焦点为 FF，AA 为 CC 上异于原点的任意一点，过点 AA 的直线 ll 交 CC 于另一点 BB，交 xx 轴的正半轴于点 DD，且有 ∣FA∣=∣FD∣|FA| = |FD|. 当点 AA 的横坐标为 3 时，△ADF\triangle ADF 为正三角形.
(1) 求 CC 的方程； (2) 若直线 l1∥ll_{1} \parallel l，且 l1l_{1} 和 CC 有且只有一个公共点 EE，
(i) 证明直线 AEAE 过定点，并求出定点坐标； (ii) △ABE\triangle ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

2014 · 山东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，直线 y=xy = x 被椭圆 CC 截得的线段长为 4105\frac{4\sqrt{10}}{5}.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 过原点的直线与椭圆 CC 交于 AA，BB 两点（AA，BB 不是椭圆 CC 的顶点）. 点 DD 在椭圆 CC 上，且 AD⊥ABAD \perp AB，直线 BDBD 与 xx 轴，yy 轴分别交于 MM，NN 两点.
(i) 设直线 BDBD，AMAM 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，证明存在常数 λ\lambda 使得 k1=λk2k_{1} = \lambda k_{2}，并求出 λ\lambda 的值； (ii) 求 △OMN\triangle OMN 面积的最大值.

2014 · 山东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0）的左，右焦点分别是 F1F_{1}，F2F_{2}，离心率为 32\frac{\sqrt{3}}{2}，过 F1F_{1} 且垂直于 xx 轴的直线被椭圆 CC 截得的线段长为 11.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 点 PP 是椭圆 CC 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1PF_{1}，PF2PF_{2}. 设 ∠F1PF2\angle F_{1}PF_{2} 的角平分线 PMPM 交 CC 的长轴于点 M(m,0)M(m,0)，求 mm 的取值范围； (3) 在（2）的条件下，过点 PP 作斜率为 kk 的直线 ll，使得 ll 与椭圆 CC 有且只有一个公共点. 设直线 PF1PF_{1}，PF2PF_{2} 的斜率分别为 k1k_{1}，k2k_{2}，若 k≠0k \neq 0，试证明 1kk1+1kk2\frac{1}{kk_{1}} + \frac{1}{kk_{2}} 为定值，并求出这个定值.

2013 · 山东 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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