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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=sin⁡x−ln⁡(1+x)f(x)=\sin x-\ln(1+x)，且 f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导数. 证明：
(1) f′(x)f'(x) 在区间 (−1,π2)\left(-1,\dfrac{\pi}{2}\right) 存在唯一极大值点； (2) f(x)f(x) 有且仅有 22 个零点.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21概率与统计★★★★★
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验. 试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药. 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 44 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 11 分，乙药得 −1-1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 11 分，甲药得 −1-1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 00 分. 甲、乙两种药的治愈率分别记为 α\alpha 和 β\beta，一轮试验中甲药的得分记为 XX.
(1) 求 XX 的分布列； (2) 若甲药、乙药在试验开始时都赋予 44 分，pip_i（i=0i=0，11，⋯\cdots，88）表示“甲药的累计得分为 ii 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p0=0p_0=0，p8=1p_8=1，pi=api−1+bpi+cpi+1p_i=ap_{i-1}+bp_i+cp_{i+1}（i=1i=1，22，⋯\cdots，77），其中 a=P(X=−1)a=P(X=-1)，b=P(X=0)b=P(X=0)，c=P(X=1)c=P(X=1). 假设 α=0.5\alpha=0.5，β=0.8\beta=0.8.
(i) 证明：{pi+1−pi}\{p_{i+1}-p_i\}（i=0i=0，11，22，⋯\cdots，77）为等比数列； (ii) 求 p4p_4，并根据 p4p_4 的值解释这种试验方案的合理性.

2019 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=1x−x+aln⁡xf(x)=\frac1x-x+a\ln x.
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 f(x)f(x) 存在两个极值点 x1x_1，x2x_2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2<a−2\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<a-2.

2018 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
数列 {an}\{a_n\} 满足 a1+2a2+⋯+nan=4−n+22n−1a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}，n∈N∗n \in \mathbf{N}^*.
(1) 求 a3a_3 的值； (2) 求数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和 TnT_n； (3) 令 b1=a1b_1 = a_1，bn=Tn−1n+(1+12+13+⋯+1n)anb_n = \frac{T_{n - 1}}{n} + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right) a_n（n⩾2n \geqslant 2），证明：数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n 满足 Sn<2+2ln⁡nS_n < 2 + 2 \ln n.

2015 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知过原点的动直线 ll 与圆 C1:x2+y2−6x+5=0C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 AA，BB.
(1) 求圆 C1C_1 的圆心坐标； (2) 求线段 ABAB 的中点 MM 的轨迹 CC 的方程； (3) 是否存在实数 kk，使得直线 L:y=k(x−4)L: y = k(x - 4) 与曲线 CC 只有一个交点？若存在，求出 kk 的取值范围；若不存在，说明理由.

2015 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 aa 为实数，函数 f(x)=(x−a)2+∣x−a∣−a(a−1)f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1).
(1) 若 f(0)⩽1f(0) \leqslant 1，求 aa 的取值范围； (2) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (3) 当 a⩾2a \geqslant 2 时，讨论 f(x)+4xf(x) + \frac{4}{x} 在区间 (0,+∞)(0, +\infty) 内的零点个数.

2015 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=1(x2+2x+k)2+2(x2+2x+k)−3f(x) = \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 2x + k)^2 + 2(x^2 + 2x + k) - 3}}，其中 k<−2k < -2.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的定义域 DD（用区间表示）； (2) 讨论 f(x)f(x) 在区间 DD 上的单调性； (3) 若 k<−6k < -6，求 DD 上满足条件 f(x)>f(1)f(x) > f(1) 的 xx 的集合（用区间表示）.

2014 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=(x−1)ex−kx2f(x) = (x - 1)\mathrm{e}^{x} - kx^{2} （k∈Rk \in \mathbf{R}）.
(1) 当 k=1k = 1 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间. (2) 当 k∈(12,1]k \in \left(\frac{1}{2}, 1\right] 时，求函数 f(x)f(x) 在 [0,k][0, k] 上的最大值 MM.

2013 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知抛物线 CC 的顶点为原点，其焦点 F(0,c)F(0, c)（c>0c > 0）到直线 ll：x−y−2=0x - y - 2 = 0 的距离为 322\frac{3\sqrt{2}}{2}. 设 PP 为直线 ll 上的点，过点 PP 作抛物线 CC 的两条切线 PAPA，PBPB，其中 AA，BB 为切点.
(1) 求抛物线 CC 的方程； (2) 当点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 为直线 ll 上的定点时，求直线 ABAB 的方程； (3) 当点 PP 在直线 ll 上移动时，求 ∣AF∣⋅∣BF∣|AF| \cdot |BF| 的最小值.

2013 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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20数列★★★★★
(1) 设 b>0b > 0，数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=ba_{1} = b，an=nban−1an−1+2n−2a_{n} = \frac{nba_{n-1}}{a_{n-1} + 2n - 2}（n⩾2n \geqslant 2）. 求数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式. (2) 证明：对于一切正整数 nn，an⩽bn+12n+1+1a_{n} \leqslant \frac{b^{n+1}}{2^{n+1}} + 1.

2011 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
(1) 在平面直角坐标系 xOyxOy 上，给定抛物线 L:y=14x2L: y = \frac{1}{4} x^2. 实数 pp，qq 满足 p2−4q⩾0p^2 - 4q \geqslant 0，x1x_1，x2x_2 是方程 x2−px+q=0x^2 - px + q = 0 的两根. 记 φ(p,q)=max⁡{∣x1∣,∣x2∣}\varphi(p, q) = \max \{|x_1|, |x_2|\}. 过点 A(p0,14p02)A\left(p_0, \frac{1}{4} p_0^2\right)（p0≠0p_0 \neq 0）作 LL 的切线交 yy 轴于点 BB. 证明：对线段 ABAB 上的任一点 Q(p,q)Q(p, q)，有 φ(p,q)=∣p0∣2\varphi(p, q) = \frac{|p_0|}{2}. (2) 设 M(a,b)M(a, b) 是定点，其中 aa，bb 满足 a2−4b>0a^2 - 4b > 0，a≠0a \neq 0. 过点 M(a,b)M(a, b) 作 LL 的两条切线 l1l_1，l2l_2，切点分别为 E(p1,14p12)E\left(p_1, \frac{1}{4} p_1^2\right)，E′(p2,14p22)E'\left(p_2, \frac{1}{4} p_2^2\right)，l1l_1，l2l_2 与 yy 分别交于 FF，F′F'. 线段 EFEF 上异于两端点的点集记为 XX. 证明：M(a,b)∈X⇔∣p1∣>∣p2∣⇔φ(a,b)=∣p1∣2M(a, b) \in X \Leftrightarrow |p_1| > |p_2| \Leftrightarrow \varphi(a, b) = \frac{|p_1|}{2}. (3) 设 D={(x,y)∣y⩽x−1,y⩾14(x+1)2−54}D = \left\{(x, y) \mid y \leqslant x - 1, y \geqslant \frac{1}{4} (x + 1)^2 - \frac{5}{4}\right\}. 当点 (p,q)(p, q) 取遍 D 时，求 φ(p,q)\varphi(p, q) 的最小值（记为 φmin⁡\varphi_{\min}）和最大值（记为 φmax⁡\varphi_{\max}）.

2011 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，直线 l:x=−2l: x = -2 交 xx 轴于点 AA. 设 PP 是 ll 上一点，MM 是线段 OPOP 的垂直平分线上一点，且满足 ∠MPO=∠AOP\angle MPO = \angle AOP.
(1) 当点 PP 在 ll 上运动时，求点 MM 的轨迹 EE 的方程； (2) 已知 T(1,−1)T(1,-1)，设 HH 是 EE 上动点，求 ∣HO∣+∣HT∣|HO| + |HT| 的最小值，并给出此时点 HH 的坐标； (3) 过点 T(1,−1)T(1, -1) 且不平行于 yy 轴的直线 l1l_{1} 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点，求直线 l1l_{1} 的斜率 kk 的取值范围.

2011 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 x22−y2=1\frac{x^2}{2} - y^2 = 1 的左、右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，点 P(x1,y1)P(x_1, y_1)，Q(x1,−y1)Q(x_1, -y_1) 是双曲线上不同的两个动点.
(1) 求直线 A1PA_{1}P 与 A2QA_{2}Q 交点的轨迹 EE 的方程； (2) 若过点 H(0,h)H(0, h)（h>1h > 1）的两条直线 l1l_{1} 和 l2l_{2} 与轨迹 EE 都只有一个交点，且 l1⊥l2l_{1} \perp l_{2}，求 hh 的值.

2010 · 广东 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21不等式★★★★★
设 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}) 是平面直角坐标系 xOyxOy 上的两点. 现定义由点 AA 到点 BB 的一种折线距离 ρ(A,B)\rho(A,B) 为 ρ(A,B)=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣\rho(A,B) = |x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|. 对于平面 xOyxOy 上给定的不同两点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，B(x2,y2)B(x_{2},y_{2}).
(1) 若点 C(x,y)C(x, y) 是平面 xOyxOy 上的点，试证明 ρ(A,C)+ρ(C,B)⩾ρ(A,B)\rho(A,C) + \rho(C,B) \geqslant \rho(A,B)； (2) 在平面 xOyxOy 上是否存在点 C(x,y)C(x, y)，同时满足
① ρ(A,C)+ρ(C,B)=ρ(A,B)\rho(A,C) + \rho(C,B) = \rho(A,B)； ② ρ(A,C)=ρ(C,B)\rho(A,C) = \rho(C,B).
若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

2010 · 广东 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知曲线 Cn:y=nx2C_n: y = nx^2，点 Pn(xn,yn)P_n(x_n, y_n)（xn>0x_n > 0，yn>0y_n > 0）是曲线 CnC_n 上的点（n=1n = 1，22，⋯\cdots）.
(1) 试写出曲线 CnC_n 在点 PnP_n 处的切线 lnl_n 的方程，并求出 lnl_n 与 yy 轴的交点 QnQ_n 的坐标； (2) 若原点 O(0,0)O(0, 0) 到 lnl_n 的距离与线段 PnQnP_nQ_n 的长度之比取得最大值，试求点 PnP_n 的坐标 (xn,yn)(x_n, y_n)； (3) 设 mm 与 kk 为两个给定的不同的正整数，xnx_n 与 yny_n 是满足前一问条件的点 PnP_n 的坐标，证明：∑n=1s∣(m+1)xn2−(k+1)yn∣<∣ms−ks∣\sum_{n=1}^{s} \left| \sqrt{\frac{(m + 1)x_n}{2}} - \sqrt{(k + 1)y_n} \right| < \left| \sqrt{ms} - \sqrt{ks} \right|（s=1s = 1，22，⋯\cdots）.

2010 · 广东 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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