已知圆 $O$ 的半径为 1，直线 $PA$ 与 $O$ 相切于 $A$，$\overline{PB}\cap\overline{PC}$ 与 $O$ 相交于 $B$，$C$，$D$ 为 $BC$ 中点，若 $PO=2$，则 $PA\cdot PD$ 的最大值为（ ）

已知 $f(x)=\left( \frac1x+a \right)\ln(1+x)$.

(1) 当 $a=-1$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程； (2) 是否存在 $a$，$b$，使得曲线 $y=f\left( \frac1x \right)$ 关于直线 $x=b$ 对称，若存在，求 $a$，$b$ 的值，若不存在，说明理由； (3) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值，求 $a$ 的取值范围.