已知函数 $f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3$，其中 $0<k<\frac13$.

(1) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 $x_1$，$x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 的极值点和零点.

(i) 设函数 $g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)$，证明：$g(t)$ 在区间 $(0,x_1)$ 单调递减； (ii) 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小，并证明你的结论.

甲，乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 1 分，负者得 0 分. 设每个球甲胜的概率为 $p$（$\frac12<p<1$），乙胜的概率为 $q$，$p+q=1$，且各球的胜负相互独立. 对正整数 $k\ge 2$，记 $p_k$ 为打完 $k$ 个球后甲比乙至少多得 2 分的概率，$q_k$ 为打完 $k$ 个球后乙比甲至少多得 2 分的概率.

(1) 求 $p_3$，$p_4$（用 $p$ 表示）； (2) 若 $\frac{p_4-p_3}{q_4-q_3}=4$，求 $p$； (3) 证明：对任意正整数 $m$，$p_{2m+1}-q_{2m+1}<p_{2m}-q_{2m}<p_{2m+2}-q_{2m+2}$.