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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x(1−ln⁡x)f(x)=x\left( 1-\ln x \right).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 aa，bb 为两个不相等的正数，且 bln⁡a−aln⁡b=a−bb\ln a-a\ln b=a-b，证明 2<1a+1b<e2<\frac{1}{a}+\frac{1}{b}<\mathrm{e}.

2021 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）的首项 a1=1a_1=1，前 nn 项和为 SnS_n. 设 λ\lambda 与 kk 是常数，若对一切正整数 nn，均有 Sn+11k−Sn1k=λan+11kS_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}} 成立，则称此数列为“λ∼k\lambda\sim k”数列.
(1) 若等差数列 {an}\{a_n\} 是“λ∼1\lambda\sim1”数列，求 λ\lambda 的值； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是“33∼2\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2”数列，且 an>0a_n>0，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 对于给定的 λ\lambda，是否存在三个不同的数列 {an}\{a_n\} 为“λ∼3\lambda\sim3”数列，且 an≥0a_n\ge0？若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2020 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★★
甲口袋中装有 22 个黑球和 11 个白球，乙口袋中装有 33 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 nn 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 XnX_n，恰有 22 个黑球的概率为 pnp_n，恰有 11 个黑球的概率为 qnq_n.
(1) 求 p1⋅q1p_1\cdot q_1 和 p2⋅q2p_2\cdot q_2； (2) 求 2pn+qn2p_n+q_n 与 2pn−1+qn−12p_{n-1}+q_{n-1} 的递推关系式和 XnX_n 的数学期望 E(Xn)E(X_n)（用 nn 表示）.

2020 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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18解析几何★★★★★
如图，一个湖的边界是圆心为 OO 的圆，湖的一侧有一条直线型公路 ll，湖上有桥 ABAB（ABAB 是圆 OO 的直径）. 规划在公路 ll 上选两个点 PP，QQ，并修建两段直线型道路 PBPB，QAQA. 规划要求：线段 PBPB，QAQA 上的所有点到点 OO 的距离均不小于圆 OO 的半径. 已知点 AA，BB 到直线 ll 的距离分别为 ACAC 和 BDBD（CC，DD 为垂足），测得 AB=10AB=10，AC=6AC=6，BD=12BD=12（单位：百米）.
(1) 若道路 PBPB 与桥 ABAB 垂直，求道路 PBPB 的长； (2) 在规划要求下，PP 和 QQ 中能否有一个点选在 DD 处？并说明理由； (3) 对规划要求下，若道路 PBPB 和 QAQA 的长度均为 dd（单位：百米），求当 dd 最小时，PP，QQ 两点间的距离.

2019 · 江苏 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★★★★
定义首项为 11 且公比为正数的等比数列为“MM－数列”.
(1) 已知等比数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）满足：a2a4=a5a_2a_4=a_5，a3−4a2+4a1=0a_3-4a_2+4a_1=0，求证：数列 {an}\{a_n\} 为“MM－数列”； (2) 已知数列 {bn}\{b_n\} 满足 b1=1b_1=1，1Sn=2bn−2bn+1\dfrac1{S_n}=\dfrac2{b_n}-\dfrac2{b_{n+1}}，其中 SnS_n 为数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和.
(i) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (ii) 设 mm 为正整数，若存在“MM－数列”{cn}\{c_n\}，对任意正整数 kk，当 k≤mk\le m 时，都有 ck≤bk≤ck+1c_k\le b_k\le c_{k+1} 成立，求 mm 的最大值.

2019 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
记 f′(x)f'(x)，g′(x)g'(x) 分别为函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 的导函数. 若存在 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，满足 f(x0)=g(x0)f(x_0)=g(x_0) 且 f′(x0)=g′(x0)f'(x_0)=g'(x_0)，则称 x0x_0 为函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 的一个“SS 点”.
(1) 证明：函数 f(x)=xf(x)=x 与 g(x)=x2+2x−2g(x)=x^2+2x-2 不存在“SS 点”； (2) 若函数 f(x)=ax2−1f(x)=ax^2-1 与 g(x)=ln⁡xg(x)=\ln x 存在“SS 点”，求实数 aa 的值； (3) 已知函数 f(x)=−x2+af(x)=-x^2+a，g(x)=bexxg(x)=\dfrac{b\mathrm{e}^x}{x}. 对任意 a>0a>0，判断是否存在 b>0b>0，使函数 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 内存在“SS 点”，并说明理由.

2018 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20不等式★★★★★
设 {an}\{a_n\} 是首项为 a1a_1，公差为 dd 的等差数列，{bn}\{b_n\} 是首项为 b1b_1，公比为 qq 的等比数列.
(1) 设 a1=0a_1=0，b1=1b_1=1，q=2q=2，若 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=1n=1，22，33，44 均成立，求 dd 的取值范围； (2) 若 a1=b1>0a_1=b_1>0，m∈N∗m\in\mathbf{N}^*，q∈(1,2m]q\in(1,\sqrt[m]{2}]，证明：存在 d∈Rd\in\mathbf{R}，使得 ∣an−bn∣≤b1|a_n-b_n|\le b_1 对 n=2n=2，33，⋯\cdots，m+1m+1 均成立，并求 dd 的取值范围（用 b1b_1，mm，qq 表示）.

2018 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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23计数原理与组合数学★★★★★
设 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，对 11，22，⋯\cdots，nn 的一个排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n，如果当 s<ts<t 时，有 is>iti_s>i_t，则称 (is,it)(i_s,i_t) 是排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的一个逆序，排列 i1i2⋯ini_1i_2\cdots i_n 的所有逆序的总个数称为其逆序数. 例如：对 11，22，33 的一个排列 231231，只有两个逆序 (2,1)(2,1)，(3,1)(3,1)，则排列 231231 的逆序数为 2. 记 fn(k)f_n(k) 为 11，22，⋯\cdots，nn 的所有排列中逆序数为 kk 的全部排列的个数.
(1) 求 f3(2)f_3(2)，f4(2)f_4(2) 的值； (2) 求 fn(2)f_n(2)（n≥5n\ge5）的表达式（用 nn 表示）.

2018 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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19数列★★★★★
对于给定的正整数 kk，若数列 {an}\{a_n\} 满足： an−k+an−k+1+⋯+an−1a_{n-k}+a_{n-k+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n-1} +an+1+⋯+an+k−1+an+k+a_{n+1}+\allowbreak\cdots+\allowbreak a_{n+k-1}+a_{n+k} =2kan=2ka_n， 对任意正整数 nn（n>kn>k）总成立，则称数列 {an}\{a_n\} 是“P(k)P(k)数列”.
(1) 证明：等差数列 {an}\{a_n\} 是“P(3)P(3)数列”； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 既是“P(2)P(2)数列”，又是“P(3)P(3)数列”，证明：{an}\{a_n\} 是等差数列.

2017 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x)=x^3+ax^2+bx+1（a>0a>0，b∈Rb\in\mathbf{R}）有极值，且导函数 f′(x)f'(x) 的极值点是 f(x)f(x) 的零点. （极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
(1) 求 bb 关于 aa 的函数关系式，并写出定义域； (2) 证明：b2>3ab^2>3a； (3) 若 f(x)f(x)，f′(x)f'(x) 这两个函数的所有极值之和不小于 −72-\dfrac72，求 aa 的取值范围.

2017 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=ax+bxf(x)=a^x+b^x（a>0a>0，b>0b>0，a≠1a\ne1，b≠1b\ne1）.
(1) 设 a=2a=2，b=12b=\dfrac12.
(i) 求方程 f(x)=2f(x)=2 的根； (ii) 若对于任意 x∈Rx\in\mathbf{R}，不等式 f(2x)≥mf(x)−6f(2x)\ge mf(x)-6 恒成立，求实数 mm 的最大值； (2) 若 0<a<10<a<1，b>1b>1，函数 g(x)=f(x)−2g(x)=f(x)-2 有且只有 11 个零点，求 abab 的值.

2016 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
记 U={1,2,⋯ ,100}U=\{1,2,\cdots,100\}. 对数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）和 UU 的子集 TT，若 T=∅T=\varnothing，定义 ST=0S_T=0；若 T={t1,t2,⋯ ,tk}T=\{t_1,t_2,\cdots,t_k\}，定义 ST=at1+at2+⋯+atkS_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots+a_{t_k}. 例如：T={1,3,66}T=\{1,3,66\} 时，ST=a1+a3+a66S_T=a_1+a_3+a_{66}. 现设 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）是公比为 33 的等比数列，且当 T={2,4}T=\{2,4\} 时，ST=30S_T=30.
(1) 求 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 对任意正整数 kk（1≤k≤1001\le k\le100），若 T⊆{1,2,⋯ ,k}T\subseteq\{1,2,\cdots,k\}，求证：ST<ak+1S_T<a_{k+1}； (3) 设 C⊆UC\subseteq U，D⊆UD\subseteq U，SC≥SDS_C\ge S_D，求证：SC+SC∩D≥2SDS_C+S_{C\cap D}\ge2S_D.

2016 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+ax2+bf(x) = x^3 + ax^2 + b（aa，b∈Rb \in \mathbf{R}）.
(1) 试讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 若 b=c−ab = c - a（实数 cc 是与 aa 无关的常数）. 当函数 f(x)f(x) 有三个不同的零点时，aa 的取值范围恰好是 (−∞,−3)∪(1,32)∪(32,+∞)(-\infty, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)，求 cc 的值.

2015 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4 是各项为正数且公差为 dd（d≠0d \neq 0）的等差数列.
(1) 证明：2a12^{a_1}，2a22^{a_2}，2a32^{a_3}，2a42^{a_4} 依次构成等比数列； (2) 是否存在 a1a_1，dd，使得 a1a_1，a22a_2^{2}，a33a_3^{3}，a44a_4^{4} 依次构成等比数列？并说明理由； (3) 是否存在 a1a_1，dd 及正整数 nn，kk，使得 a1na_1^{n}，a2n+ka_2^{n+k}，a3n+2ka_3^{n+2k}，a4n+3ka_4^{n+3k} 依次构成等比数列？并说明理由.

2015 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+e−xf(x) = \mathrm{e}^{x} + \mathrm{e}^{-x}，其中 e\mathrm{e} 是自然对数的底数.
(1) 证明： f(x)f(x) 是 R\mathbf{R} 上的偶函数； (2) 若关于 xx 的不等式 mf(x)⩽e−x+m−1m f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x} + m - 1 在 (0,+∞)(0, +\infty) 上恒成立，求实数 mm 的取值范围； (3) 已知正数 aa 满足：存在 x0∈[1,+∞)x_0 \in [1, +\infty)，使得 f(x0)<a(−x03+3x0)f(x_0) < a(-x_0^3 + 3x_0) 成立. 试比较 ea−1\mathrm{e}^{a - 1} 与 ae−1a^{\mathrm{e} - 1} 的大小，并证明你的结论.

2014 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和为 SnS_{n}. 若对任意正整数 nn，总存在正整数 mm，使得 Sn=amS_{n} = a_{m}，则称 {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”.
(1) 若数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=2nS_{n}=2^{n}（n∈N∗n\in \mathbf{N}^{*}），证明： {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”； (2) 设{an}\{a_{n}\} 是等差数列，其首项 a1=1a_{1} = 1，公差 d<0d < 0. 若 {an}\{a_{n}\} 是“HH 数列”，求 dd 的值； (3) 证明：对任意的等差数列 {an}\{a_{n}\}，总存在两个“HH 数列” {bn}\{b_{n}\} 和 {cn}\{c_{n}\}，使得 an=bn+cna_{n} = b_{n} + c_{n}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^{*}）成立.

2014 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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