已知关于 $x$ 的函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 与 $h(x)=kx+b$（$k$，$b\in\mathbf{R}$）在区间 $D$ 上恒有 $f(x)\ge h(x)\ge g(x)$.

(1) 若 $f(x)=x^2+2x$，$g(x)=-x^2+2x$，$D=(-\infty,+\infty)$，求 $h(x)$ 的表达式； (2) 若 $f(x)=x^2-x+1$，$g(x)=k\ln x$，$h(x)=kx-k$，$D=(0,+\infty)$，求 $k$ 的取值范围； (3) 若 $f(x)=x^4-2x^2$，$g(x)=4x^2-8$，$h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2$，$0<|t|\le\sqrt2$，$D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]$，证明：$n-m\le\sqrt7$.

已知数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbf{N}^*$）的首项 $a_1=1$，前 $n$ 项和为 $S_n$. 设 $\lambda$ 与 $k$ 是常数，若对一切正整数 $n$，均有 $S_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}}$ 成立，则称此数列为“$\lambda\sim k$”数列.

(1) 若等差数列 $\{a_n\}$ 是“$\lambda\sim1$”数列，求 $\lambda$ 的值； (2) 若数列 $\{a_n\}$ 是“$\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2$”数列，且 $a_n>0$，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (3) 对于给定的 $\lambda$，是否存在三个不同的数列 $\{a_n\}$ 为“$\lambda\sim3$”数列，且 $a_n\ge0$？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

甲口袋中装有 $2$ 个黑球和 $1$ 个白球，乙口袋中装有 $3$ 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_n$，恰有 $2$ 个黑球的概率为 $p_n$，恰有 $1$ 个黑球的概率为 $q_n$.

(1) 求 $p_1\cdot q_1$ 和 $p_2\cdot q_2$； (2) 求 $2p_n+q_n$ 与 $2p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 $X_n$ 的数学期望 $E(X_n)$（用 $n$ 表示）.