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1817分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左焦点为 F(−1,0)F(-1,0)，离心率为 12\dfrac{1}{2}.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设 OO 为坐标原点，过 FF 且斜率大于 00 的动直线 ll 与 CC 交于 PP，QQ 两点，其中 QQ 在第三象限，直线 POPO 与 CC 的另一个交点为 RR.
(i) 若 △PQR\triangle PQR 的面积是 △PFO\triangle PFO 的面积的 33 倍，求 ll 的方程； (ii) 求 tan⁡∠PQR\tan \angle PQR 的最小值．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x) 的定义域为 R\mathbf{R}，且当 x<0x<0 时，f(x)=2xf(x)=2^x. 对任意 x0∈Rx_0\in\mathbf{R}，定义集合 D(x0)={d∈R∣f(x0+d)>f(x0)}D(x_0)=\{d\in\mathbf{R} \mid f(x_0+d)>f(x_0)\}.
(1) 若当 x≥0x\ge 0 时，f(x)=1−xf(x)=1-x，求 D(−1)D(-1)； (2) 若 f(x)f(x) 是奇函数，f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，且 x1x2≠0x_1x_2\ne 0，证明：D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)； (3) 设 f(x)f(x) 满足：① 若 f(x1)≤f(x2)f(x_1)\le f(x_2)，则 D(x2)⊆D(x1)D(x_2)\subseteq D(x_1)；② 当 0<x<10<x<1 时，f(x)<f(0)f(x)<f(0).
(i) 证明：f(0)≥1f(0)\ge 1； (ii) 证明：f(x)f(x) 在区间 (0,+∞)(0,+\infty) 单调递增．

2026 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分解析几何★★★★★
设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 223\frac{2\sqrt{2}}{3}，下顶点为 AA，右顶点为 BB，∣AB∣=10|AB| = \sqrt{10}.
(1) 求椭圆 CC 的标准方程； (2) 已知动点 PP 不在 yy 轴上，点 RR 在射线 APAP 上，且满足 ∣AP∣⋅∣AR∣=3|AP| \cdot |AR| = 3.
(i) 设 P(m,n)P(m, n)，求点 RR 的坐标（用 mm，nn 表示）； (ii) 设 OO 为坐标原点，QQ 是 CC 上的动点，直线 OROR 的斜率为直线 OPOP 的斜率的3倍，求 ∣PQ∣|PQ| 的最大值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=5cos⁡x−cos⁡5xf(x) = 5\cos x - \cos 5x，求 f(x)f(x) 在 [0,π4]\left[0, \frac{\pi}{4}\right] 的最大值； (2) 给定 θ∈(0,π)\theta \in (0,\pi) 和 a∈Ra \in \mathbf{R}，证明：存在 y∈[a−θ,a+θ]y \in [a - \theta, a + \theta]，使得 cos⁡y≤cos⁡θ\cos y \le \cos \theta； (3) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若存在 φ∈R\varphi \in \mathbf{R} 使得 5cos⁡x−cos⁡(5x+φ)≤b5\cos x - \cos (5x + \varphi) \le b 对 x∈Rx \in \mathbf{R} 恒成立，求 bb 的最小值.

2025 · 全国 · 一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
在直角坐标系 xOyxOy 中，点 PP 到 xx 轴的距离等于点 PP 到点 (0,12)(0,\frac12) 的距离，记动点 PP 的轨迹为 WW.
(1) 求 WW 的方程； (2) 已知矩形 ABCDABCD 有三个顶点在 WW 上，证明：矩形 ABCDABCD 的周长大于 333\sqrt3.

2023 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x212+y2=1\frac{x^2}{12}+y^2=1. 设 AA，BB 是椭圆上异于 P(0,1)P(0,1) 的两点，且点 Q(0,12)Q\left(0,\frac12\right) 在线段 ABAB 上，直线 PAPA，PBPB 分别交直线 y=−12x+3y=-\frac12x+3 于 CC，DD 两点.
(1) 求点 PP 到椭圆上点的距离的最大值； (2) 求 ∣CD∣|CD| 的最小值.

2022 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=e2x+ln⁡xf(x)=\frac{\mathrm{e}}{2x}+\ln x（x>0x>0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，曲线 y=f(x)y=f(x) 上不同的三点 (x1,f(x1))(x_1,f(x_1))，(x2,f(x2))(x_2,f(x_2))，(x3,f(x3))(x_3,f(x_3)) 处的切线都经过点 (a,b)(a,b). 证明：
(i) 若 a>ea>\mathrm{e}，则 0<b−f(a)<12(ae−1)0<b-f(a)<\frac12\left(\frac{a}{\mathrm{e}}-1\right)； (ii) 若 0<a<e0<a<\mathrm{e}，x1<x2<x3x_1<x_2<x_3，则 2e+e−a6e2<1x1+1x3<2a−e−a6e2\frac{2}{\mathrm{e}}+\frac{\mathrm{e}-a}{6\mathrm{e}^2}<\frac1{x_1}+\frac1{x_3}<\frac2a-\frac{\mathrm{e}-a}{6\mathrm{e}^2}.
（注：e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 是自然对数的底数）

2022 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知 FF 是抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，MM 为该抛物线准线与 xx 轴交点，且 ∣MF∣=2|MF|=2.
(1) 求抛物线方程； (2) 设过 FF 的直线交抛物线于 AA，BB，斜率为 22 的直线 ll 与直线 MAMA，MBMB，ABAB，xx 轴依次交于 PP，QQ，RR，NN，且 ∣RN∣2=∣PN∣⋅∣QN∣|RN|^2=|PN|\cdot|QN|，求直线 ll 在 xx 轴上的截距的范围.

2021 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，且 a>1a>1，函数 f(x)=ax−bx+e2f(x)=a^x-bx+\mathrm{e}^2（x∈Rx\in\mathbf{R}）.
(1) 求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 若对任意 b>2e2b>2\mathrm{e}^2，函数 f(x)f(x) 有两个不同零点，求 aa 的取值范围； (3) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，证明：对任意 b>e4b>\mathrm{e}^4，函数 f(x)f(x) 有两个不同零点 x1x_1，x2x_2，使 x2>bln⁡b2e2x1+e2bx_2>\frac{b\ln b}{2\mathrm{e}^2}x_1+\frac{\mathrm{e}^2}{b}.

2021 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线 C2:y2=2pxC_2:y^2=2px（p>0p>0），点 AA 是椭圆 C1C_1 与抛物线 C2C_2 的交点，过点 AA 的直线 ll 交椭圆 C1C_1 于点 BB，交抛物线 C2C_2 于 MM（BB，MM 不同于 AA）.
(1) 若 p=116p=\dfrac{1}{16}，求抛物线 C2C_2 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 ll 使 MM 为线段 ABAB 的中点，求 pp 的最大值.

2020 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 1<a≤21<a\le2，函数 f(x)=ex−x−af(x)=\mathrm{e}^x-x-a，其中 e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 证明：函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上有唯一零点； (2) 记 x0x_0 为函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的零点，证明：
(i) a−1≤x0≤2(a−1)\sqrt{a-1}\le x_0\le\sqrt{2(a-1)}； (ii) x0f(ex0)≥(e−1)(a−1)ax_0f(\mathrm{e}^{x_0})\ge(\mathrm{e}-1)(a-1)a.

2020 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知点 F(1,0)F(1,0) 为抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）的焦点，过点 FF 的直线交抛物线于 AA，BB 两点，点 CC 在抛物线上，使得 △ABC\triangle ABC 的重心 GG 在 xx 轴上，直线 ACAC 交 xx 轴于点 QQ，且 QQ 在点 FF 右侧. 记 △AFG\triangle AFG，△CQG\triangle CQG 的面积分别为 S1S_1，S2S_2.
(1) 求 pp 的值及抛物线的准线方程； (2) 求 S1S2\dfrac{S_1}{S_2} 的最小值及此时点 GG 的坐标.

2019 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知实数 a≠0a\neq0，设函数 f(x)=aln⁡x+x+1f(x)=a\ln x+\sqrt{x+1}，x>0x>0.
(1) 当 a=−34a=-\dfrac34 时，求函数 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 对任意 x∈[1e2,+∞)x\in\left[\dfrac{1}{\mathrm{e}^2},+\infty\right) 均有 f(x)≤x2af(x)\le\dfrac{\sqrt x}{2a}，求 aa 的取值范围.
注：e=2.71828…\mathrm{e}=2.71828\ldots 为自然对数的底数.

2019 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知点 PP 是 yy 轴左侧（不含 yy 轴）一点，抛物线 C:y2=4xC:y^2=4x 上存在不同的两点 AA，BB 满足 PAPA，PBPB 的中点均在 CC 上.
(1) 设 ABAB 中点为 MM，证明：PMPM 垂直于 yy 轴； (2) 若 PP 是半椭圆 x2+y24=1x^2+\dfrac{y^2}{4}=1（x<0x<0）上的动点，求 △PAB\triangle PAB 面积的取值范围.

2018 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x−ln⁡xf(x)=\sqrt{x}-\ln x.
(1) 若 f(x)f(x) 在 x=x1x=x_1，x2x_2（x1≠x2x_1\ne x_2）处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8−8ln⁡2f(x_1)+f(x_2)>8-8\ln2； (2) 若 a≤3−4ln⁡2a\le3-4\ln2，证明：对于任意 k>0k>0，直线 y=kx+ay=kx+a 与曲线 y=f(x)y=f(x) 有唯一公共点.

2018 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {xn}\{x_n\} 满足：x1=1x_1=1，xn=xn+1+ln⁡(1+xn+1)x_n=x_{n+1}+\ln(1+x_{n+1})（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*），证明：当 n∈N∗n\in \mathbf{N}^* 时，
(1) 0<xn+1<xn0<x_{n+1}<x_n； (2) 2xn+1−xn≤xnxn+122x_{n+1}-x_n\le \dfrac{x_nx_{n+1}}{2}； (3) 12n−1≤xn≤12n−2\dfrac{1}{2^{n-1}}\le x_n\le \dfrac{1}{2^{n-2}}.

2017 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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20数列★★★★★
设数列满足 ∣an−an+12∣≤1\left|a_n-\dfrac{a_{n+1}}{2}\right|\le 1，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.
(1) 求证：∣an∣≥2n−1(∣a1∣−2)|a_n|\ge 2^{n-1}\left( |a_1|-2 \right)，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*； (2) 若 ∣an∣≤(32)n|a_n|\le \left( \dfrac32 \right)^n，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，证明：∣an∣≤2|a_n|\le 2，n∈N∗n\in\mathbf{N}^*.

2016 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x2+ax+bf(x) = x^2 + ax + b （aa，b∈Rb \in \mathbf{R}），记 M(a,b)M(a, b) 是 ∣f(x)∣|f(x)| 在区间 [−1,1][-1, 1] 上的最大值.
(1) 证明：当 ∣a∣⩾2|a| \geqslant 2 时，M(a,b)⩾2M(a, b) \geqslant 2； (2) 当 aa，bb 满足 M(a,b)⩽2M(a, b) \leqslant 2 时，求 ∣a∣+∣b∣|a| + |b| 的最大值.

2015 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=12a_1 = \frac{1}{2} 且 an+1=an−an2a_{n + 1} = a_n - a_n^2（n∈N∗n\in \mathbf{N}^*）.
(1) 证明： 1⩽anan+1⩽21 \leqslant \frac{a_n}{a_{n+1}} \leqslant 2（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）； (2) 设数列 {an2}\{a_n^2\} 的前 nn 项和为 SnS_n，证明： 12(n+2)⩽Snn⩽12(n+1)\frac{1}{2(n+2)} \leqslant \frac{S_n}{n} \leqslant \frac{1}{2(n+1)} （n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.

2015 · 浙江 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，设椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0），动直线 ll 与椭圆 CC 只有一个公共点 PP，且点 PP 在第一象限.
(1) 已知直线 ll 的斜率为 kk，用 aa，bb，kk 表示点 PP 的坐标； (2) 若过原点 OO 的直线 l1l_{1} 与 ll 垂直，证明：点 PP 到直线 l1l_{1} 的距离的最大值为 a−ba - b.

2014 · 浙江 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)=x3+3∣x−a∣f(x) = x^3 + 3|x - a|（a∈Ra \in \mathbf{R}）.
(1) 若 f(x)f(x) 在 [−1,1][-1, 1] 上的最大值和最小值分别记为 M(a)M(a)，m(a)m(a)，求 M(a)−m(a)M(a) - m(a)； (2) 设 b∈Rb \in \mathbf{R}，若 [f(x)+b]2⩽4\left[f(x) + b\right]^2 \leqslant 4 对 x∈[−1,1]x \in [-1, 1] 恒成立，求 3a+b3a + b 的取值范围.

2014 · 浙江 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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22解析几何★★★★★
已知 △ABP\triangle ABP 的三个顶点都在抛物线 C:x2=4yC: x^2 = 4y 上，FF 为抛物线 CC 的焦点，点 MM 为 ABAB 的中点，PF→=3FM→\overrightarrow{PF} = 3\overrightarrow{FM}.
(1) 若 ∣PF∣=3|PF| = 3，求点 MM 的坐标； (2) 求 △ABP\triangle ABP 面积的最大值.

2014 · 浙江 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 a∈Ra \in \mathbf{R}，函数 f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3f(x) = x^3 - 3x^2 + 3ax - 3a + 3.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 当 x∈[0,2]x \in [0, 2] 时，求 ∣f(x)∣|f(x)| 的最大值.

2013 · 浙江 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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