已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+y^2=1$（$a>1$），过 $E$ 的右焦点且与 $x$ 轴垂直的直线被 $E$ 截得的线段长为 $\sqrt{2}$.

(1) 求 $E$ 的离心率； (2) 设 $O$ 为坐标原点，给定点 $G\left( t,0 \right)$（$t\ne 0$）. $A\left( x_0,y_0 \right)$（$y_0\ne 0$）为 $E$ 上的点，过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $B$，直线 $OA$ 与直线 $GB$ 的交点为 $P$，当 $A$ 在 $E$ 上运动时，点 $P$ 的轨迹为 $M$.

(i) 求 $M$ 的方程； (ii) 当 $t$ 为何值时，$M$ 有对称中心？当 $M$ 有对称中心时，将 $M$ 平移后得到曲线 $M'$，使得 $O$ 为 $M'$ 的对称中心，说明 $M'$ 是什么曲线.

已知函数 $f\left( x \right)=x\mathrm{e}^x+ax+b$，曲线 $y=f\left( x \right)$ 在点 $\left( 0,f\left( 0 \right) \right)$ 处的切线方程为 $y=-2x+1$.

(1) 求 $a$，$b$； (2) 当 $x>0$ 时，$f\left( x+m \right)-f\left( x \right)>m$，求 $m$ 的取值范围； (3) 当 $x>0$ 时，$f\left( k+x \right)+f\left( k-x \right)>2f\left( k \right)$，求 $k$ 的最小值.