设双曲线 $C$ 的中心为点 $O$，若有且只有一对相交于点 $O$，所成的角为 $60^{\circ}$ 的直线 $A_{1}B_{1}$ 和 $A_{2}B_{2}$，使 $|A_{1}B_{1}| = |A_{2}B_{2}|$，其中 $A_{1}$，$B_{1}$ 和 $A_{2}$，$B_{2}$ 分别是这对直线与双曲线 $C$ 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）

\begin{answer} A \end{answer} \begin{solution} 取坐标轴沿双曲线的实轴、虚轴，则可设 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$e^2=1+\frac{b^2}{a^2}$. 过原点、方向角为 $\theta$ 的直线上的点可写为 它与双曲线相交的条件为 且弦长为 $2|\rho|$. 两条方向相差 $\frac\pi3$ 的直线弦长相等，当且仅当 整理得 故候选的两对直线分别可取方向角 $\left(-\frac\pi6,\frac\pi6\right)$，$\left(\frac\pi3,\frac{2\pi}3\right)$. 第一对为割线的条件是 第二对为割线的条件是 因此当 $\frac{2\sqrt3}{3}<e\leqslant2$ 时恰有第一对；$e>2$ 时两对均存在，而 $e=\frac{2\sqrt3}{3}$ 或更小时第一对也不是有限割线. 故离心率范围为 选 A. \end{solution}

已知以 $T = 4$ 为周期的函数 其中 $m > 0$. 若方程 $3f(x) = x$ 恰有 5 个实数解，则 $m$ 的取值范围为（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 函数以 4 为周期，先考察一个基本周期 $(-1,3]$. 在 $[0,1]$ 上，方程为 由于 $f(x)\geqslant0$，方程的解必须满足 $x\geqslant0$，且 $x=0$ 不满足方程，所以不必考察负半轴. 左端随 $x$ 增大而减小、右端递增，且两端在 $x=0$ 与 $x=1$ 的大小关系相反，故恰有 1 根.

在 $(1,3]$ 上，$f(x)=1-|x-2|$. 当 $1<x\leqslant2$ 时，方程为 $3(x-1)=x$，根为 $x=\frac{3}{2}$；当 $2\leqslant x\leqslant3$ 时，方程为 $3(3-x)=x$，根为 $x=\frac{9}{4}$. 所以基本周期内已有 3 根.

对 $k\geqslant1$，在区间 $(4k-1,4k+1]$ 上令 $x=4k+t$，则第一段方程化为 $m=\frac{4k+t}{3\sqrt{1-t^{2}}}$，$-1<t<1$. 记 其导数为 所以 $h_k$ 在 $(-1,-\frac{1}{(4k)})$ 上递减，在 $(-\frac{1}{(4k)},1)$ 上递增，并且两端趋于 $+\infty$. 唯一最小值为 因此第 $k$ 个平移后的第一段有 2 个根当且仅当 $m>\frac{\sqrt{16k^{2}-1}}{3}$，有 1 个根当 $m$ 等于该值，否则没有根.

当 $k=1$ 时，产生 2 个根的条件是 $m>\frac{\sqrt{15}}{3}$；当 $k=2$ 时，产生根的临界值是 由于上述临界值随 $k$ 增大而增大，若 $m<\sqrt7$，只有 $k=1$ 的第一段可能产生根；若 $m\geqslant\sqrt7$，则至少还会产生第 $k=2$ 段的根. 第二段中 $3f(x)\leqslant3$，而 $x>4k+1\geqslant5$，不可能有根. 因此总根数恰为 $3+2=5$ 当且仅当 故选 B. \end{solution}