已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$） 的右焦点为 $F(2,0)$，渐近线方程为 $y=\pm \sqrt3 x$.

(1) 求 $C$ 的方程； (2) 过 $F$ 的直线与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A$，$B$ 两点，点 $P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$ 在 $C$ 上，且 $x_1>x_2>0$，$y_1>0$. 过 $P$ 且斜率为 $-\sqrt3$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt3$ 的直线交于点 $M$. 从下面 $\circled{1}$，$\circled{2}$，$\circled{3}$ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立：

① $M$ 在 $AB$ 上； ② $PQ\parallel AB$； ③ $|MA|=|MB|$.

已知函数 $f(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^x$.

(1) 当 $a=1$ 时，讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 当 $x>0$ 时，$f(x)<-1$，求 $a$ 的取值范围； (3) 设 $n\in \mathbf{N}^*$，证明：$\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln(n+1)$.