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2115分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=aex−1−ln⁡x+ln⁡af(x)=a\mathrm{e}^{x-1}-\ln x+\ln a.
(1) 当 a=ea=\mathrm{e} 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))\left( 1,f(1) \right) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2) 若 f(x)≥1f(x)\ge 1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分解析几何★★★★★
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的离心率为 22\dfrac{\sqrt{2}}{2}，且过点 A(2,1)A\left( 2,1 \right).
(1) 求 CC 的方程； (2) 点 MM，NN 在 CC 上，且 AM⊥ANAM\perp AN，AD⊥MNAD\perp MN，DD 为垂足. 证明：存在定点 QQ，使得 ∣DQ∣|DQ| 为定值.

2020 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex+ax2−xf(x)=\mathrm{e}^x+ax^2-x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x≥0x\ge 0 时，f(x)≥12x3+1f(x)\ge \dfrac{1}{2}x^3+1，求 aa 的取值范围.

2020 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知 {an}\{a_n\} 是无穷数列. 给出两个性质：
① 对于 {an}\{a_n\} 中任意两项 aia_i，aja_j（i>ji>j），在 {an}\{a_n\} 中都存在一项 ama_m，使得 ai2aj=am\dfrac{a_i^2}{a_j}=a_m； ② 对于 {an}\{a_n\} 中任意项 ana_n（n≥3n\ge3），在 {an}\{a_n\} 中都存在两项 aka_k，ala_l（k>lk>l），使得 an=ak2ala_n=\dfrac{a_k^2}{a_l}.
(1) 若 an=na_n=n（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否满足性质（1），说明理由； (2) 若 an=2n−1a_n=2^{n-1}（n=1n=1，22，…\dots），判断数列 {an}\{a_n\} 是否同时满足性质（1）和性质（2），说明理由； (3) 若 {an}\{a_n\} 是递增数列，且同时满足性质（1）和性质（2），证明：{an}\{a_n\} 为等比数列.

2020 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x3+kln⁡xf(x)=x^3+k\ln x（k∈Rk\in\mathbf{R}），f′(x)f'(x) 为 f(x)f(x) 的导函数.
(1) 当 k=6k=6 时，
(i) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (ii) 求函数 g(x)=f(x)−f′(x)+9xg(x)=f(x)-f'(x)+\dfrac9x 的单调区间和极值； (2) 当 k≥−3k\ge-3 时，求证：对任意的 x1x_1，x2∈[1,+∞)x_2\in[1,+\infty)，且 x1>x2x_1>x_2，有 f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2\dfrac{f'(x_1)+f'(x_2)}{2}>\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}.

2020 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ1:x24−y2b2=1\Gamma_1:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 与圆 Γ2:x2+y2=4+b2\Gamma_2:x^2+y^2=4+b^2（b>0b>0）交于点 A(xA,yA)A(x_A,y_A)（第一象限），曲线 Γ\Gamma 为 Γ1\Gamma_1，Γ2\Gamma_2 上取满足 x>∣xA∣x>|x_A| 的部分.
(1) 若 xA=6x_A=\sqrt6，求 bb 的值； (2) 当 b=5b=\sqrt5，Γ2\Gamma_2 与 xx 轴交点记作点 F1F_1，F2F_2，PP 是曲线 Γ\Gamma 上一点，且在第一象限，且 ∣PF1∣=8|PF_1|=8，求 ∠F1PF2\angle F_1PF_2； (3) 过点 D(0,b22+2)D\left(0,\frac{b^2}{2}+2\right) 斜率为 −b2-\frac{b}{2} 的直线 ll 与曲线 Γ\Gamma 只有两个交点，记为 MM，NN，用 bb 表示 OM→⋅ON→\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}，并求 OM→⋅ON→\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON} 的取值范围.

2020 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 为有限数列，满足 ∣a1−a2∣≤∣a1−a3∣≤⋯≤∣a1−am∣|a_1-a_2|\le|a_1-a_3|\le\cdots\le|a_1-a_m|，则称 {an}\{a_n\} 满足性质 PP.
(1) 判断数列 33，22，55，11 和 44，33，22，55，11 是否具有性质 PP，请说明理由； (2) 若 a1=1a_1=1，公比为 qq 的等比数列，项数为 1010，具有性质 PP，求 qq 的取值范围； (3) 若 {an}\{a_n\} 是 11，22，33，…\ldots，mm 的一个排列（m≥4m\ge4），{bn}\{b_n\} 符合 bk=ak+1b_k=a_{k+1}（k=1k=1，22，…\ldots，m−1m-1），{an}\{a_n\}，{bn}\{b_n\} 都具有性质 PP，求所有满足条件的数列 {an}\{a_n\}.

2020 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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19不等式★★★★★
已知关于 xx 的函数 y=f(x)y=f(x)，y=g(x)y=g(x) 与 h(x)=kx+bh(x)=kx+b（kk，b∈Rb\in\mathbf{R}）在区间 DD 上恒有 f(x)≥h(x)≥g(x)f(x)\ge h(x)\ge g(x).
(1) 若 f(x)=x2+2xf(x)=x^2+2x，g(x)=−x2+2xg(x)=-x^2+2x，D=(−∞,+∞)D=(-\infty,+\infty)，求 h(x)h(x) 的表达式； (2) 若 f(x)=x2−x+1f(x)=x^2-x+1，g(x)=kln⁡xg(x)=k\ln x，h(x)=kx−kh(x)=kx-k，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求 kk 的取值范围； (3) 若 f(x)=x4−2x2f(x)=x^4-2x^2，g(x)=4x2−8g(x)=4x^2-8，h(x)=4(t3−t)x−3t4+2t2h(x)=4(t^3-t)x-3t^4+2t^2，0<∣t∣≤20<|t|\le\sqrt2，D=[m,n]⊆[−2,2]D=[m,n]\subseteq[-\sqrt2,\sqrt2]，证明：n−m≤7n-m\le\sqrt7.

2020 · 江苏 · 第 19 题 · 解答题

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20数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\}（n∈N∗n\in\mathbf{N}^*）的首项 a1=1a_1=1，前 nn 项和为 SnS_n. 设 λ\lambda 与 kk 是常数，若对一切正整数 nn，均有 Sn+11k−Sn1k=λan+11kS_{n+1}^{\frac{1}{k}}-S_n^{\frac{1}{k}}=\lambda a_{n+1}^{\frac{1}{k}} 成立，则称此数列为“λ∼k\lambda\sim k”数列.
(1) 若等差数列 {an}\{a_n\} 是“λ∼1\lambda\sim1”数列，求 λ\lambda 的值； (2) 若数列 {an}\{a_n\} 是“33∼2\dfrac{\sqrt3}{3}\sim2”数列，且 an>0a_n>0，求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (3) 对于给定的 λ\lambda，是否存在三个不同的数列 {an}\{a_n\} 为“λ∼3\lambda\sim3”数列，且 an≥0a_n\ge0？若存在，求 λ\lambda 的取值范围；若不存在，说明理由.

2020 · 江苏 · 第 20 题 · 解答题

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23概率与统计★★★★★
甲口袋中装有 22 个黑球和 11 个白球，乙口袋中装有 33 个白球. 现从甲，乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 nn 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 XnX_n，恰有 22 个黑球的概率为 pnp_n，恰有 11 个黑球的概率为 qnq_n.
(1) 求 p1⋅q1p_1\cdot q_1 和 p2⋅q2p_2\cdot q_2； (2) 求 2pn+qn2p_n+q_n 与 2pn−1+qn−12p_{n-1}+q_{n-1} 的递推关系式和 XnX_n 的数学期望 E(Xn)E(X_n)（用 nn 表示）.

2020 · 江苏 · 第 23 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 C1:x22+y2=1C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1，抛物线 C2:y2=2pxC_2:y^2=2px（p>0p>0），点 AA 是椭圆 C1C_1 与抛物线 C2C_2 的交点，过点 AA 的直线 ll 交椭圆 C1C_1 于点 BB，交抛物线 C2C_2 于 MM（BB，MM 不同于 AA）.
(1) 若 p=116p=\dfrac{1}{16}，求抛物线 C2C_2 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 ll 使 MM 为线段 ABAB 的中点，求 pp 的最大值.

2020 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
已知 1<a≤21<a\le2，函数 f(x)=ex−x−af(x)=\mathrm{e}^x-x-a，其中 e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 为自然对数的底数.
(1) 证明：函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上有唯一零点； (2) 记 x0x_0 为函数 y=f(x)y=f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 上的零点，证明：
(i) a−1≤x0≤2(a−1)\sqrt{a-1}\le x_0\le\sqrt{2(a-1)}； (ii) x0f(ex0)≥(e−1)(a−1)ax_0f(\mathrm{e}^{x_0})\ge(\mathrm{e}-1)(a-1)a.

2020 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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