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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ex−axf(x)=\mathrm{e}^x-ax，g(x)=ax−ln⁡xg(x)=ax-\ln x 有相同的最小值.
(1) 求 aa； (2) 证明：存在直线 y=by=b，其与两条曲线 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

2022 · 全国 · 新高考一卷 · 第 22 题 · 解答题

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2115分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a>0a>0，b>0b>0） 的右焦点为 F(2,0)F(2,0)，渐近线方程为 y=±3xy=\pm \sqrt3 x.
(1) 求 CC 的方程； (2) 过 FF 的直线与 CC 的两条渐近线分别交于 AA，BB 两点，点 P(x1,y1)P(x_1,y_1)，Q(x2,y2)Q(x_2,y_2) 在 CC 上，且 x1>x2>0x_1>x_2>0，y1>0y_1>0. 过 PP 且斜率为 −3-\sqrt3 的直线与过 QQ 且斜率为 3\sqrt3 的直线交于点 MM. 从下面 \circled1\circled{1}，\circled2\circled{2}，\circled3\circled{3} 中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① MM 在 ABAB 上； ② PQ∥ABPQ\parallel AB； ③ ∣MA∣=∣MB∣|MA|=|MB|.

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 21 题 · 解答题

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2215分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=xeax−exf(x)=x\mathrm{e}^{ax}-\mathrm{e}^x.
(1) 当 a=1a=1 时，讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 x>0x>0 时，f(x)<−1f(x)<-1，求 aa 的取值范围； (3) 设 n∈N∗n\in \mathbf{N}^*，证明：112+1+122+2+⋯+1n2+n>ln⁡(n+1)\frac{1}{\sqrt{1^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{2^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}>\ln(n+1).

2022 · 全国 · 新高考二卷 · 第 22 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0） 的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left( p,0 \right). 过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3|MF|=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exx−ln⁡x+x−af(x)=\frac{\mathrm{e}^x}{x}-\ln x+x-a.
(1) 若 f(x)≥0f(x)\ge 0，求 aa 的取值范围； (2) 证明：若 f(x)f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，则 x1x2<1x_1x_2<1.

2022 · 全国 · 甲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设抛物线 C:y2=2pxC:y^2=2px（p>0p>0）的焦点为 FF，点 D(p,0)D\left(p,0\right)，过 FF 的直线交 CC 于 MM，NN 两点. 当直线 MDMD 垂直于 xx 轴时，∣MF∣=3\lvert MF\rvert=3.
(1) 求 CC 的方程； (2) 设直线 MDMD，NDND 与 CC 的另一个交点分别为 AA，BB，记直线 MNMN，ABAB 的倾斜角分别为 α\alpha，β\beta. 当 α−β\alpha-\beta 取得最大值时，求直线 ABAB 的方程.

2022 · 全国 · 甲卷 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡(1+x)+axe−xf(x)=\ln(1+x)+ax\mathrm{e}^{-x}.
(1) 当 a=1a=1 时，求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))\left( 0,f(0) \right) 处的切线方程； (2) 若 f(x)f(x) 在区间 (−1,0)(-1,0)，(0,+∞)(0,+\infty) 各恰有一个零点，求 aa 的取值范围.

2022 · 全国 · 乙卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=exln⁡(1+x)f(x)=\mathrm{e}^x\ln(1+x).
(1) 求曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 设 g(x)=f′(x)g(x)=f'(x)，讨论函数 g(x)g(x) 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上的单调性； (3) 证明：对任意的 ss，t∈(0,+∞)t\in(0,+\infty)，有 f(s+t)>f(s)+f(t)f(s+t)>f(s)+f(t).

2022 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为有穷整数数列. 给定正整数 mm，若对任意的 n∈{1,2,…,m}n\in\{1,2,\dots,m\}，在 QQ 中存在 aia_i，ai+1a_{i+1}，…\dots，ai+ja_{i+j}（j≥0j\ge 0），使得 ai+ai+1+⋯+ai+j=na_i+a_{i+1}+\dots+a_{i+j}=n，则称 QQ 为 mm-连续可表数列.
(1) 判断 Q:2Q:2，11，44 是否为 5-连续可表数列？是否为 6-连续可表数列？说明理由； (2) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 8-连续可表数列，求证：kk 的最小值为 4； (3) 若 Q:a1Q:a_1，a2a_2，…\dots，aka_k 为 20-连续可表数列，且 a1+a2+⋯+ak<20a_1+a_2+\dots+a_k<20，求证：k≥7k\ge 7.

2022 · 北京 · 第 21 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，函数 f(x)=ex−asin⁡xf(x)=\mathrm{e}^x-a\sin x，g(x)=bxg(x)=b\sqrt{x}.
(1) 求函数 y=f(x)y=f(x) 在点 (0,f(0))(0,f(0)) 处的切线方程； (2) 若 y=f(x)y=f(x) 和 y=g(x)y=g(x) 有公共点，
(i) 当 a=0a=0 时，求 bb 的取值范围； (ii) 求证：a2+b2>ea^2+b^2>\mathrm{e}.

2022 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
设椭圆 Γ:x2a2+y2b2=1\Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0），F1(−2,0)F_1(-\sqrt2,0)，F2(2,0)F_2(\sqrt2,0) 为 Γ\Gamma 的焦点，AA 为 Γ\Gamma 的下顶点，MM 为直线 l:x+y−42=0l:x+y-4\sqrt2=0 上一点.
(1) 若 a=2a=2，且 AMAM 的中点在 xx 轴上，求点 MM 的坐标； (2) 若直线 ll 与 yy 轴的交点为 BB，直线 AMAM 经过点 F2F_2，且在 △ABM\triangle ABM 中有一内角的余弦值为 35\frac35，求 bb 的值； (3) 若 Γ\Gamma 上一点 PP 到 ll 的距离为 dd，且 ∣PF1∣+∣PF2∣+d=6|PF_1|+|PF_2|+d=6，求 dd 的最小值.

2022 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
在数列 {an}\{a_n\} 中，a1=1a_1=1，a2=3a_2=3，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^* 且 n≥2n\ge2，均存在正整数 i∈[1,n−1]i\in[1,n-1]，满足 an+1=2an−aia_{n+1}=2a_n-a_i.
(1) 求 a4a_4 所有可能的值； (2) 命题 pp：若 a1a_1，a2a_2，…\ldots，a8a_8 成等差数列，则 a9<30a_9<30，证明 pp 是真命题，同时写出 pp 的逆命题 qq，并判断命题 qq 是真命题还是假命题，说明理由； (3) 若 a2m=3ma_{2m}=3^m（m∈N∗m\in\mathbf{N}^*），求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式.

2022 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)f(x)-f(x-t)；乙变化：∣f(x+t)−f(x)∣\lvert f(x+t)-f(x)\rvert，t>0t>0.
(1) 若 t=1t=1，f(x)=2xf(x)=2^x，f(x)f(x) 经甲变化得到 g(x)g(x)，求方程 g(x)=2g(x)=2 的解； (2) 若 f(x)=x2f(x)=x^2，f(x)f(x) 经乙变化得到 h(x)h(x)，求不等式 h(x)≤f(x)h(x)\le f(x) 的解集； (3) 若 f(x)f(x) 在 (−infty,0)(-infty,0) 上单调递增，将 f(x)f(x) 先进行甲变化得到 u(x)u(x)，再将 u(x)u(x) 进行乙变化得到 h1(x)h_1(x)；将 f(x)f(x) 先进行乙变化得到 v(x)v(x)，再将 v(x)v(x) 进行甲变化得到 h2(x)h_2(x)，若对任意 t>0t>0，总存在 h1(x)=h2(x)h_1(x)=h_2(x) 成立，求证：f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上单调递增.

2022 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
如图，已知椭圆 x212+y2=1\frac{x^2}{12}+y^2=1. 设 AA，BB 是椭圆上异于 P(0,1)P(0,1) 的两点，且点 Q(0,12)Q\left(0,\frac12\right) 在线段 ABAB 上，直线 PAPA，PBPB 分别交直线 y=−12x+3y=-\frac12x+3 于 CC，DD 两点.
(1) 求点 PP 到椭圆上点的距离的最大值； (2) 求 ∣CD∣|CD| 的最小值.

2022 · 浙江 · 第 21 题 · 解答题

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22导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=e2x+ln⁡xf(x)=\frac{\mathrm{e}}{2x}+\ln x（x>0x>0）.
(1) 求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 已知 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，曲线 y=f(x)y=f(x) 上不同的三点 (x1,f(x1))(x_1,f(x_1))，(x2,f(x2))(x_2,f(x_2))，(x3,f(x3))(x_3,f(x_3)) 处的切线都经过点 (a,b)(a,b). 证明：
(i) 若 a>ea>\mathrm{e}，则 0<b−f(a)<12(ae−1)0<b-f(a)<\frac12\left(\frac{a}{\mathrm{e}}-1\right)； (ii) 若 0<a<e0<a<\mathrm{e}，x1<x2<x3x_1<x_2<x_3，则 2e+e−a6e2<1x1+1x3<2a−e−a6e2\frac{2}{\mathrm{e}}+\frac{\mathrm{e}-a}{6\mathrm{e}^2}<\frac1{x_1}+\frac1{x_3}<\frac2a-\frac{\mathrm{e}-a}{6\mathrm{e}^2}.
（注：e=2.71828⋯\mathrm{e}=2.71828\cdots 是自然对数的底数）

2022 · 浙江 · 第 22 题 · 解答题

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