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1817分导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=ln⁡x2−x+ax+b(x−1)3f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3（x∈(0,2)x\in(0,2)）.
(1) 若 b=0b=0 且 f′(x)≥0f'(x)\ge0，求 aa 的最小值； (2) 证明：曲线 y=f(x)y=f(x) 关于点 (1,a)(1,a) 中心对称； (3) 若 f(x)>−2f(x)>-2 当且仅当 1<x<21<x<2，求 bb 的取值范围.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 18 题 · 解答题

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1917分数列★★★★★
设 mm 为正整数，数列 a1a_1，a2a_2，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 为公差不为 00 的等差数列，若删去两项 aia_i，aja_j（i<ji<j） 后剩余 4m4m 项可平均分为 mm 组且每组 4 个数都成等差，则称该数列为 (i,j)(i,j)-可分数列.
(1) 写出所有 (i,j)(i,j)，1≤i<j≤61\le i<j\le6，使 a1a_1，…\dots，a6a_6 是 (i,j)(i,j)-可分数列； (2) 当 m≥3m\ge3 时，证明 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (2,13)(2,13)-可分数列； (3) 从 11，22，…\dots，4m+24m+2 中不放回任取 i<ji<j，设 a1a_1，…\dots，a4m+2a_{4m+2} 是 (i,j)(i,j)-可分数列的概率为 PmP_m，证明 Pm>18P_m>\frac18.

2024 · 全国 · 新高考一卷 · 第 19 题 · 解答题

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1917分解析几何★★★★★
已知双曲线 C:x2−y2=mC:x^2-y^2=m（m>0m>0），点 P1(5,4)P_1(5,4) 在 CC 上，kk 为常数，0<k<10<k<1. 按照如下方式依次构造点 PnP_n（n=2n=2，33，…\dots）：过 Pn−1P_{n-1} 作斜率为 kk 的直线与 CC 的左支交于点 Qn−1Q_{n-1}，令 PnP_n 为 Qn−1Q_{n-1} 关于 yy 轴的对称点，记 PnP_n 的坐标为 (xn,yn)(x_n,y_n).
(1) 若 k=12k=\frac12，求 x2x_2，y2y_2； (2) 证明：数列 {xn−yn}\{x_n-y_n\} 是公比为 1+k1−k\frac{1+k}{1-k} 的等比数列； (3) 设 SnS_n 为 △PnPn+1Pn+2\triangle P_nP_{n+1}P_{n+2} 的面积，证明：对任意的正整数 nn，Sn=Sn+1S_n=S_{n+1}.

2024 · 全国 · 新高考二卷 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=x+kln⁡(1+x)f(x)=x+k\ln(1+x)（k≠0k\ne 0），直线 ll 是曲线 y=f(x)y=f(x) 在点 (t,f(t))(t,f(t))（t>0t>0）处的切线.
(1) 当 k=−1k=-1 时，求 f(x)f(x) 的单调区间； (2) 求证：ll 不经过点 (0,0)(0,0)； (3) 当 k=1k=1 时，设点 A(t,f(t))A(t,f(t))（t>0t>0），C(0,f(t))C(0,f(t))，O(0,0)O(0,0)，BB 为 ll 与 yy 轴的交点，S△ACOS_{\triangle ACO} 与 S△ABOS_{\triangle ABO} 分别表示 △ACO\triangle ACO 与 △ABO\triangle ABO 的面积. 是否存在点 AA 使得 2S△ACO=15S△ABO2S_{\triangle ACO}=15S_{\triangle ABO} 成立？若存在，这样的点 AA 有几个？
（参考数据：1.09<ln⁡3<1.101.09<\ln 3<1.10，1.60<ln⁡5<1.611.60<\ln 5<1.61，1.94<ln⁡7<1.951.94<\ln 7<1.95）

2024 · 北京 · 第 20 题 · 解答题

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21计数原理与组合数学★★★★★
已知集合
M={(i,j,k,w)|i∈{1,2}, j∈{3,4}, k∈{5,6},w∈{7,8}, 且 i+j+k+w 为偶数}M=\left\{(i,j,k,w)\middle|\begin{gathered}i\in\{1,2\},\ j\in\{3,4\},\ k\in\{5,6\},\\ w\in\{7,8\},\ \text{且 }i+j+k+w\ \text{为偶数}\end{gathered}\right\}
.
给定数列 A:a1A:a_1，a2a_2，⋯\cdots，a8a_8，和序列 Ω:T1\Omega:T_1，T2T_2，⋯\cdots，TsT_s，其中 Tt=(it,jt,kt,wt)∈MT_t=(i_t,j_t,k_t,w_t)\in M（t=1t=1，22，⋯\cdots，ss）. 对数列 AA 进行如下变换：将 AA 的第 i1i_1，j1j_1，k1k_1，w1w_1 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作 T1(A)T_1(A)；将 T1(A)T_1(A) 的第 i2i_2，j2j_2，k2k_2，w2w_2 项均加 1，其余项不变，得到数列记作 T2T1(A)T_2T_1(A)；……；以此类推，得到 Ts⋯T2T1(A)T_s\cdots T_2T_1(A)，简记为 Ω(A)\Omega(A).
(1) 给定数列 A:1A:1，33，22，44，66，33，11，99 和序列 Ω:(1,3,5,7)\Omega:(1,3,5,7)，(2,4,6,8)(2,4,6,8)，(1,3,5,7)(1,3,5,7)，写出 Ω(A)\Omega(A)； (2) 是否存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 为 a1+2a_1+2，a2+6a_2+6，a3+4a_3+4，a4+2a_4+2，a5+8a_5+8，a6+2a_6+2，a7+4a_7+4，a8+4a_8+4？若存在，写出一个符合条件的 Ω\Omega；若不存在，请说明理由； (3) 若数列 AA 的各项均为正整数，且 a1+a3+a5+a7a_1+a_3+a_5+a_7 为偶数，求证：“存在序列 Ω\Omega，使得 Ω(A)\Omega(A) 的各项都相等”的充要条件为“a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8”.

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19数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_n\} 是公比大于 0 的等比数列，其前 nn 项和为 SnS_n. 若 a1=1a_1=1，S2=a3−1S_2=a_3-1.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 前 nn 项和 SnS_n； (2) 设 bn=kb_n=k（n=akn=a_k），bn=bn−1+2kb_n=b_{n-1}+2k（ak<n<ak+1a_k<n<a_{k+1}），其中 k∈N∗k\in \mathbb N^*.
(i) 当 k≥2k\ge 2，n=ak+1n=a_{k+1} 时，求证：bn−1≥akbnb_{n-1}\ge a_k b_n； (ii) 求 ∑i=1Snbi\displaystyle \sum_{i=1}^{S_n}b_i.

2024 · 天津 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
设函数 f(x)=xln⁡xf(x)=x\ln x.
(1) 求 f(x)f(x) 图象上点 (1,f(1))(1,f(1)) 处的切线方程； (2) 若 f(x)≥a(x−x)f(x)\ge a(x-\sqrt{x}) 在 x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty) 时恒成立，求 aa 的值； (3) 若 x1x_1，x2∈(0,1)x_2\in(0,1)，证明 ∣f(x1)−f(x2)∣≤∣x1−x2∣12|f(x_1)-f(x_2)|\le |x_1-x_2|^{\frac{1}{2}}.

2024 · 天津 · 第 20 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
已知双曲线 Γ:x2−y2b2=1\Gamma:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1（b>0b>0），左右顶点分别为 A1A_1，A2A_2，过点 M(−2,0)M(-2,0) 的直线 ll 交双曲线 Γ\Gamma 于 PP，QQ 两点.
(1) 若离心率 e=2e=2，求 bb 的值； (2) 若 b=263b=\frac{2\sqrt{6}}{3}，点 PP 在第一象限，△MA2P\triangle MA_2P 为等腰三角形，求点 PP 的坐标； (3) 连接 QOQO（OO 为坐标原点）并延长交双曲线 Γ\Gamma 于点 RR，若 A1R→⋅A2P→=1\overrightarrow{A_1R}\cdot\overrightarrow{A_2P}=1，求 bb 的取值范围.

2024 · 上海 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★★
设 DD 是 R\mathbf{R} 的一个非空子集，y=f(x)y=f(x) 是定义在 DD 上的函数. 对于点 M(a,b)M(a,b)，记 s(x)=(x−a)2+(f(x)−b)2s(x)=(x-a)^2+\left( f(x)-b \right)^2. 若对于点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0))，函数 y=s(x)y=s(x) 在 x=x0x=x_0 处取得最小值，则称 PP 是 MM 的 ff 最近点.
(1) 对于 f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x}，M(0,0)M(0,0)，D=(0,+∞)D=(0,+\infty)，求证：存在 MM 的 ff 最近点； (2) 对于 f(x)=exf(x)=\mathrm{e}^x，M(1,0)M(1,0)，D=RD=\mathbf{R}，若曲线 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP 满足 MPMP 垂直于 y=f(x)y=f(x) 在点 P(x0,f(x0))P(x_0,f(x_0)) 处的切线，则 PP 是否为 MM 的 ff 最近点？ (3) 已知 D=RD=\mathbf{R}，y=f(x)y=f(x) 的导函数为 y=f′(x)y=f'(x)，且 y=g(x)y=g(x) 在 R\mathbf{R} 上的函数值恒正. 对任意 t∈Rt\in \mathbf{R}，点 M1M_1 的坐标为 (t−1,f(t)−g(t))(t-1,f(t)-g(t))，点 M2M_2 的坐标为 (t+1,f(t)+g(t))(t+1,f(t)+g(t)). 若对任意的 t∈Rt\in \mathbf{R}，总存在 y=f(x)y=f(x) 上一点 PP，使得 PP 既是 M1M_1 的 ff 最近点，又是 M2M_2 的 ff 最近点，试求 y=f(x)y=f(x) 的单调性.

2024 · 上海 · 第 21 题 · 解答题

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20解析几何★★★★★
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，已知点 AA 为椭圆 Γ:x26+y22=1\Gamma:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{2}=1 上一点，F1F_1，F2F_2 分别为椭圆的左，右焦点.
(1) 若点 AA 的横坐标为 22，求 ∣AF1∣\left|AF_1\right| 的长； (2) 设 Γ\Gamma 的上，下顶点分别为 M1M_1，M2M_2，记 △AF1F2\triangle AF_1F_2 的面积为 S1S_1，△AM1M2\triangle AM_1M_2 的面积为 S2S_2，若 S1≥S2S_1\ge S_2，求 ∣OA∣\left|OA\right| 的取值范围； (3) 若点 AA 在 xx 轴上方，设直线 AF2AF_2 与 Γ\Gamma 交于点 BB，与 yy 轴交于点 KK，KF1KF_1 延长线与 Γ\Gamma 交于点 CC，是否存在 xx 轴上方的点 CC，使得 F1A→+F1B→+F1C→=λ(F2A→+F2B→+F2C→)\overrightarrow{F_1A}+\overrightarrow{F_1B}+\overrightarrow{F_1C} =\lambda\left(\overrightarrow{F_2A}+\overrightarrow{F_2B}+\overrightarrow{F_2C}\right)（λ∈R\lambda\in\mathbf{R}） 成立？若存在，请求出点 CC 的坐标；若不存在，请说明理由.

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21函数与初等函数★★★★★
记 M(a)={t∣t=f(x)−f(a),x≥a}M(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\ge a\}，L(a)={t∣t=f(x)−f(a),x≤a}L(a)=\{t\mid t=f(x)-f(a),x\le a\}.
(1) 若 f(x)=x2+1f(x)=x^2+1，求 M(1)M(1) 和 L(1)L(1)； (2) 若 f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2，求证：对于任意 a∈Ra\in\mathbf{R}，都有 M(a)⊆[−4,+∞)M(a)\subseteq[-4,+\infty)，且存在 aa，使得 −4∈M(a)-4\in M(a). (3) 已知定义在 R\mathbf{R} 上的 f(x)f(x) 有最小值，求证“f(x)f(x) 是偶函数”的充要条件是“对于任意正实数 cc，均有 M(−c)=L(c)M(-c)=L(c)”.

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