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13
高考真题
5分
导数及其应用
★★☆☆☆
若
x
=
2
x = 2
x
=
2
是函数
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
a
)
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - a)
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
a
)
的极值点, 则
f
(
0
)
=
f(0) =
f
(
0
)
=
______。
2025全国二卷 · 第 13 题 · 填空题
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18
高考真题
17分
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
+
1
2
x
2
−
k
x
3
f(x) = \ln(1 + x) - x + \frac{1}{2}x^2 - kx^3
f
(
x
)
=
ln
(
1
+
x
)
−
x
+
2
1
x
2
−
k
x
3
, 其中
0
<
k
<
1
3
0 < k < \frac{1}{3}
0
<
k
<
3
1
。
(1) 证明:
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
(
0
,
+
∞
)
(0, +\infty)
(
0
,
+
∞
)
存在唯一的极值点和唯一的零点;
(2) 设
x
1
,
x
2
x_1, x_2
x
1
,
x
2
分别为
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
在区间
(
0
,
+
∞
)
(0, +\infty)
(
0
,
+
∞
)
的极值点和零点。
① 设函数
g
(
t
)
=
f
(
x
1
+
t
)
−
f
(
x
1
−
t
)
g(t) = f(x_1 + t) - f(x_1 - t)
g
(
t
)
=
f
(
x
1
+
t
)
−
f
(
x
1
−
t
)
。证明:
g
(
t
)
g(t)
g
(
t
)
在区间
(
0
,
x
1
)
(0, x_1)
(
0
,
x
1
)
单调递减;
② 比较
2
x
1
2x_1
2
x
1
与
x
2
x_2
x
2
的大小, 并证明你的结论。
2025全国二卷 · 第 18 题 · 解答题
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