双曲线 $\frac{x^2}{m} - \frac{y^2}{n} = 1$（$mn \neq 0$）离心率为 $2$，有一个焦点与抛物线 $y^2 = 4x$ 的焦点重合，则 $mn$ 的值为（ ）

设 $A$、$B$ 是椭圆 $3x^{2} + y^{2} = \lambda$ 上的两点，点 $N(1,3)$ 是线段 $AB$ 的中点，线段 $AB$ 的垂直平分线与椭圆相交于 $C$、$D$ 两点.

(1) 确定 $\lambda$ 的取值范围，并求直线 $AB$ 的方程； (2) 试判断是否存在这样的 $\lambda$，使得 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点在同一个圆上？并说明理由.